Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Даже столь знаменитые авторы, как Декарт, Ферма и другие, которые когда-
то так горячо отстаивали превосходство своих собственных методов, как
будто они боролись за свои очаги и жертвенники, или же их приверженцы,
отстаивавшие их правоту, даже они откровенно признают, что здесь следует
применять не только те методы, которые они внесли в науку.
В мою задачу не входит поносить открытия других, и я не собираюсь этого
делать. Усердно стремясь к достижению поставленных себе целей, они дали
многое. Но в их сочинениях не находится ничего, касающегося такого рода
исследования о максимумах и минимумах, и сами они своим методам не
приписывали способности разрешать иные проблемы, чем задачи обычного
характера.
Я со своей стороны тоже не обещаю дать общего метода, которого было бы
напрасно и искать, но я изложу особые методы, с помощью которых я
счастливо разрешил настоящую задачу, - методы, подходящие не только для
данного, но и для многих других случаев.
Пока другие искали свои решения, я решил свой ответ сразу же переслать
знаменитому Лейбницу с тем, чтобы он когда-нибудь довел его до сведения
публики вместе со своим решением, если он найдет таковое. Впрочем, я в
этом не сомневался, хорошо зная необыкновенные способности этого
остроумнейшего мужа. И действительно, в то время, как я это пишу, я знаю
из частных его писем, которыми он меня часто удостаивает, что моя задача
сверх ожидания ему очень понравилась, (по его словам, она своей красотой
КРИВИЗНА ЛУЧА В НЕОДНОРОДНЫХ ПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛАХ
13
привлекла его к себе, как яблоко привлекло Еву), и что он тотчас же нашел
ее решение. Что будет сделанр другими,' покажет результат. Во всяком
случае, если такому мужу, столь загруженному делами, эта задача
представилась в таком виде, что он счел проведенный за нею час не
бесполезно потраченным, то, значит, она стоит того, чтобы геометры
посвятили ее разрешению некоторое время. Если они это сделают, то они из
этого извлекут и ту пользу, что, разрешив задачу, они получат доступ к
сокровеннейшим истинам, до которых без этого они едва ли доберутся.
Конечно, мы справедливо удивляемся тому, что было впервые открыто
Гюйгенсом [7], а именно, что тяжелое тело совершает таутохронные спуски
по обыкновенной циклоиде, из какой бы точки циклоиды оно ни начало
двигаться, но я не знаю, не будешь ли ты, читатель, совершенно изумлен,
когда я заявлю, что именно эта самая циклоида, т. е. гюйгенсова
таутохрона, и является нашей искомой брахистохроной, что я установил
двумя способами : косвенным и прямым.
Останавливаясь на изложении первого способа, я укажу, что мною открыто
удивительное совпадение между кривизной луча света в непрерывно
изменяющейся среде и нашей брахистохронной кривой ; я заметил еще и
другие явления, относительно которых мне, впрочем, неизвестно, содержится
ли в них что-нибудь сокровенное, что может оказаться полезным для
диоптрики. Во всяком случае остается справедливым указание, которое я
прибавил к своему объявлению о задаче, а именно, что последняя получит
самое широкое применение не для пустой умственной спекуляции, а в иных
дисциплинах, т. е. и в диоптрике.
Подтвердим же на деле то, что было сказано на словах, и прежде всего
изложим наш способ решения задачи.
Ферма в своем письме на имя де да Шамбра (см. Epist Cartesii Lat, т. Ill,
стр. 147 и Fermatii Opera Mathem, стр. 156 и след.) установил, что луч
света, проходящий из более редкой среды в более плотную, отклоняется к
перпендикуляру таким образом, что за данный промежуток времени луч
(который, по предположению, проходит последовательно от точки,
испускающей свет, до освещаемой точки) совершает кратчайший путь ; исходя
из этого прин, ципа, он показал, что синус угла падения находится к
синусу угла преломления в таком же отношении, как заданные разреженности
сред, т. е. они находятся в отношении, обратном отношению плотностей, а
значит, и в отношении скоростей, с которыми луч проходит в среде. Позднее
это было точнее доказано остроумнейшим Лейбницем в "Acta Eruditorum" за
1682 г., стр. 185 и далее, а затем вскоре и знаменитым Гюйгенсом в его
сочинении "О свете", стр. 40. Последние подкрепили сильнейшими доводами
только что указанный физический, или, скорее, метафизический принцип,
который Ферма, под влиянием Клерселье, кажется, оставил и, слишком легко
отказавшись от своих прав, ограничился лишь своими геометрическими
доказательствами.
Если мы теперь возьмем не равномерно плотную среду, а как бы разделенную
бесконечно большим количеством расположенных горизонтально пластинок,
промежутки между которыми заполнены прозрачной материей, плотность
которой возрастает или убывает в определенном отношении, то ясно, что
луч, который мы представляем себе в виде шарика, будет распространяться
не по прямой линии, а по некоторой кривой (это отметил уже Гюйгенс в
вышеупомянутом сочинении "О свете", хотя он всего меньше определил
природу этой кривой); эта кривая будет иметь такую форму, что шарик,
