Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 8

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 461 >> Следующая

доказательства этих принципов; но никогда никто, привыкший судить о
Науках и знакомый с индукцией, не сомневался в их истинности. Когда
видят, что в тысяче случаев Природа действует некоторым определенный!
способом, никто, обладающий здравым рассудком, не станет думать, что в
тысяча первом случае она будет подчиняться другим законам.
Что касается доказательств a priori такого рода принципов, то не кажется
очевидным, что физика могла бы их дать ; они, напротив, кажется,
принадлежат, к некоторой высшей науке. Однако уверенность в них так
велика, что многие математики без колебаний кладут их в основу своих
теорий и ежедневно применяют их при рассмотрении задач, решение которых
без этих принципов стоило бы очень большого труда. Наш ум, довольно
ограниченный, часто уходит слишком далеко от первых принципов по
направлению к пункту, к которому он хочет прийти, и он утомляется или
уклоняется со своего пути. Эти законы, о которых мы говорили, освобождают
его от части пути ; он отправляется от них со всеми своими силами, и
часто ему нужно сделать только несколько шагов, чтобы достичь того, чего
он желает.
Нет другой науки, в которой нужда в этих принципах чувствовалась бы
больше, чем в Статике и Динамике: осложнение, которое в них получается
из-за взаимоотношения силы и материи, делает здесь эти принципы более
необходимыми, чем в простых Науках. Эти принципы являются убежищем умов
усталых или сбитых с пути в своих исследованиях. Они легко видят,
ошиблись ли в своих предложениях, исследуя, применим к ним или нет такой
принцип.
Только в самое последнее время открыли закон, красотой и полезностью
которого нельзя не восхититься ; это - закон о том, что во всякой системе
движущихся упругих тел, взаимодействующих друг с другом, сумма произ-
ЗАКОН ПОКОЯ
19
ведений массы каждого тела на квадрат его скорости, которую называют
живой силой, неизменно остается одинаковой.
Размышляя над природой равновесия, я попытался установить, нет ли в
Статике какого-либо закона такого же рода и нет ли для тел,
поддерживаемых силами в покое, общего закона, необходимого для того,
чтобы покой имел место ; и вот то, что я нашел и что соблюдает Природа.
Пусть имеется система тел, которые тяготеют или притягиваются к центрам
силами, действующими соответственно на каждое тело, как N-я степень
расстояний тел до центров; для того чтобы все эти тела оставались в
покое, необходимо, чтобы сумма произведений каждой массы
на интенсивность силы и на N+l-ю степень ее расстояния до центра силы
(что можно назвать суммой сил покоя) являлась максимумом или минимумом.
Доказательство. 1. Пусть имеется система какого-нибудь числа тяжелых
точек или тел с очень малыми массами по сравнению с расстояниями их до
центров, к которым они притягиваются. Пусть эти тела М, М', М" и т. д.,
прикрепленные к нематериальным радиусам СМ, СМ', СМ", движутся вокруг
фиксированной точки С. Пусть их массы равны т, т', т", и пусть в таком же
числе точек F, F', F" на каждое из тел действуют силы /, /',' )", каждая,
пропорциональная п-й степени расстояния FM, F'M', F"M" = С, С', С" ;
каждая сила может действовать только на свое тело.
Продолжим радиусы СМ и проведем из точек F перпендикуляры FG;
получим (из разложения сил) mf ?п ¦ для движущей силы, действующей
перпендикулярно радиусу СМ; и эта сила, умноженная на длину рычага СМ,
2*
20
П. МОПЕРТЮИ
станет силой mf ?п ¦ -щ^-СМ, которая стремится повернуть этот рычаг,
и аналогично для других рычагов.
Рассмотрим теперь всю систему в расположении, ближайшем к исходному, а
тела - в точках /л, /л', /л" ; проводя линии F/л и описывая из центров F
малые дуги МК, получим : , что после подстановки на место
-f?B движущие силы дает : mf ?п • СМ для каждого тела. И так как
отношение СМ к М/л для всех тел одинаково, то, складывая все
произведения, найдем, что для равновесия системы необходимо, чтобы
mf Сп dC + т' /' С'" dC + га* /" С"п d?" = 0 .
Отсюда, очевидно, что mf?n+1 + m'f'?'n+1 + m"f"?"n+1 должно быть
максимумом или минимумом, что и требовалось доказать.
2. Если тела вместо того, чтобы быть прикрепленными к несгибаемым
радиусам, прикреплены к хордам, соединенным в точке С, то переведем
систему в новое положение /л у /л' у' /л" у" и проведем через Сиу
бесконечную прямую Су. Относя к направлению этой прямой действия тел друг
на друга и проводя из точек М перпендикуляры МР, М'Р', М"Р" к этой линии,
получим, что для равновесия тел необходимо, чтобы
ГР ГР' ГР"
mftn ¦ - = 772' /' ?'п _1- 772" /"
' СМ I Ц СМ' ^ I Ц СМ" -
Опишем теперь из центров F радиусами F у, F' у, F"y малые дуги уК,
СР СР' СР"
у К', уК" ; в предыдущее уравнение вместо г можно под-
СК СК' СК" ставить , ~оу, и мы получим :
772/ Сп • СК = m'f Z'n • СК' + 772" /" Сяп ¦ СК".
Но хорды соединены в С; СК, СК', СК" суть расстояния, на которые тела
приближаются или удаляются от центра; подставляя, следовательно, в
предыдущее уравнение их значения, получим :
772/ СП dC = 772' /' С'п dC' + 772" /" Г" d?" .
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed