Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
разделяет эти две среды: одну со стороны М, более редкую, другую, со
стороны Н, более плотную ; от точки М к Н преломляются прямые MNH, MRH,
пересекающие диаметр в точках N и R.
Согласно аксиоме или постулату, скорость движения вдоль MN в редкой среде
будет больше, чем скорость его вдоль NH в плотной среде, а поскольку мы
полагаем движение в каждой среде равномерным, отношение времени движения
вдоль MN ко времени движения вдоль NH составляется, как известно, из
отношения MN к NH и обратного отношения скорости вдоль NH к скорости
вдоль MN.
Итак, если скорость по MN относится к скорости по NH так, как прямая MN
относится к NJ, то время движения по NH относится ко времени движения по
MN, как прямая JN относится к NH.
Точно так же будет доказано, что если скорость в более редкой среде
относится к скорости в среде более плотной, как MR к RP, то время
8
П. ФЕРМА
движения по MR будет относиться ко времени движения по RH, как PR
относится к RH.
Отсюда следует, что время движения по прямым MN и NH относится ко времени
движения по прямым MR и RH, как сумма JN и NH относится к сумме PR и RH.
Таким образом, поскольку природа направляет свет от точки М к точке Н,
нужно найти точку, допустим N, через которую путем изгибания или
преломления свет пришел бы от точки М к точке Н за самое короткое время,
ибо мы предполагаем, что природа, совершая свои действия как можно
скорее, направляет свет по прямой линии. Итак, если сумма JN и NH,
которая является мерой движения по ломаной MNH, будет наименьшей
величиной, наше предположение будет доказано. А это выводится из
указанной теоремы Декарта, как зто тотчас же докажет нам истинная и
неприкрашенная геометрия. Декарт выдвинул положение :
Если провести луч от точки М в точку А'' и от той же точки М опустить
перпендикуляр MD, то отношение большей скорости к меньшей будет равно
отношению DN к NS, и если от точки S возвести перпендикуляр SH и провести
луч NH, то свет, падающий в редкой среде в точку N, преломится в плотной
среде в направлении к точке Н.
Эта теорема не противоречит нашей геометрии, как зто видно из следующего
чисто геометричес-В кого рассуждения.
Пусть имеем круг АНВМ, у которого диаметр ANB и центр N. На окружности
круга берем любую точку М, проводим радиус MN и опускаем на диаметр
перпендикуляр MD. Пусть будет
также дано отношение DN и NS так, чтобы
DN было больше NS. Из точки S восстановим перпендикуляр SH, встречающийся
с окружностью в точке Я, и от этой точки проведем к центруй радиус HN.
Отсюда DN относится к NS, как радиус MN относится к прямой NJ. Я
утверждаю, что сумма прямых JN и NH будет наименьшей, то есть, если взять
любую точку R на полудиаметре NB и провести прямые MR и RH, то отношение
DN к NS будет равно отношению MR к RP ; сумма прямых PR и RH будет больше
суммы прямых JN и NH. Чтобы это доказать, примем, что радиус MN относится
к прямой DN, как прямая RN к прямой N0, и DN относится к NS, как N0 к NV.
Из построения ясно, что прямая N0 меньше, чем прямая NR, так как прямая
DN меньше, чем радиус MN; ясно также, что прямая NV меньше,
чем прямая N0, а прямая NS меньше, чем прямая ND.
Если это так, то, согласно Евклиду, квадрат прямой MR равен квадрату
радиуса MN плюс квадрат прямой NR плюс удвоенное произведение DN на
АЧ?[4], но поскольку по построению MN относится к DN, как NR к N0,
произведение MN на N0 будет равно произведению DN на NR, следовательно,
удвоенное произведение MN на N0 равно удвоенному произведению DN на NR.
Итак, квадрат прямой MR равен квадрату MN плюс квадрат NR плюс удвоенное
произведение MN на N0.
Но квадрат прямой NR больше квадрата прямой N0, поскольку прямая NR
больше прямой N0. Следовательно, квадрат прямой MR больше, чем квадрат
прямой MN плюс квадрат прямой N0 плюс удвоенное произведение MN на N0. Но
сумма квадратов MN и N0 и удвоенного произведения MN на N0 равна квадрату
единой прямой, составленной из MN и N0. Следовательно, прямая MR больше
суммы двух прямых MN и N0.
СИНТЕЗ ДЛЯ РЕФРАКЦИИ
9
А поскольку из построения DN относится к NS, как MN к NJ и как N0 к NV,
то DN будет относиться к NS, как сумма прямых MN, N0 к сумме прямых JN и
NV. И точно так же DN относится к NS, как MR к RP. Следовательно, сумма
прямых MN, N0 относится к сумме прямых JN, NV, как прямая MR относится к
RP. Однако прямая MR больше, чем сумма прямых MN, N0 ; следовательно,
прямая PR больше суммы прямых JN, NV.
Остается доказать, что прямая RH больше, чем прямая HV, ибо если это так,
то будет установлено, что сумма прямых PR и RH больше, чем сумма прямых
JN и NH.
В треугольнике NRH, по Евклиду, квадрат RH равен сумме квадратов NH и NR
минус удвоенное произведение SN на NR. Но поскольку из построения радиус
MN (или равный ему NH) относится к DN так, как относится NR к NO, DN
относится к NS так, как N0 к NV, то равным образом HN будет относиться к
NS так, как NR к NV.
Следовательно, произведение HN на NV равно произведению NS на NR, и
