Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 9

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 461 >> Следующая

Отсюда очевидно, что
mf Cn+1 + 772' /' C'n + 1 + 772" /" C"n+1
является максимумом или минимумом, что и требовалось доказать.
Примечание. Если теперь рассмотрим все положения соединенных сил и все
силы, соединенные в одной точке, и будем рассматривать силу, являющуюся
результирующей, как постоянную, действующую на все тела, то увидим, что
система Рис. 3. будет находиться в равновесии, если сумма тел,
умноженных каждое на его расстояние до центра силы, будет максимумом или
минимумом.
И если допустим, что этот центр находится на бесконечном расстоянии от
системы, то, очевидно, для равновесия системы необходимо, чтобы центр
тяжести всех тел находился наиболее низко или наиболее высоко, как это
ЗАКОН ПОКОЯ
21
только возможно, иначе говоря, наиболее близко к центру силы или как
можно дальше от него.
Благодаря этой теореме немедленно получается решение многих вопросов
механики, перед которыми иногда останавливались искусные Геометры; они
дали только частные решения, потребовавшие затраты большого труда и
времени*).
Пусть, например, прямой рычаг АСВ движется вокруг точки С и нагружен
двумя телами А и В ; массы этих тел очень малы по сравнению с их
расстоянием от точки F, к которой они тяготеют ; и пусть в F находится
некоторая сила р, действие которой на тела пропорционально п-й степени их
расстояния до этой точки ; требуется найти положение равновесия.
Проведем через точки F и С безграничную прямую FP и линии FА, FB и
опустим из точек Л и В на FP перпендикуляры АР, BQ ; пусть линия С А - а,
СВ = Ъ, CF = с и массы обоих тел равны А и В ; получим :
FA = У(сс + аа + 2 с х) и FB -= j/ (сс + bb -j .
Теперь, по нашей теореме для равновесия, необходимо, чтобы
П-r 1
t 2 be Л 2
р А (сс + аа + 2сх) 2 4- р В (сс + bb - xj
было максимумом или минимумом.
Следовательно, имеем
^ п-Л
р А (сс + аа + 2 сх) 2 с dx = р В [сс + bb -xj .
Отсюда
1 П~1 А а (сс + аа 4- 2 с х) 2 = ВЬ (сс 4- bb - " >
откуда находим
2 2 2 2
а Вп~1 Ъп-г (сс 4 bb) - Ап~1 а"-1 (сс + аа)
Х ~~ 2с~ ' 2 п+1 ~2 п+Г '
Ап-1ап-1 + вп-1 ьп-1
Беря СР равным этому значению х и проводя через точку Р перпендикуляр РА
до встречи с рычагом В А, получим положение равновесия. Уравнение
п-1
Г 2 he Л 2 ~
Аа (сс 4- аа 4- 2 сх) 2 = Bb (сс + bb xj
позволяет видеть следующее :
Если центр силы находится на бесконечном расстоянии, как это
предполагается для всех тяжелых тел, которые изучаются в обыкновенной
Механике, то ясно, что какова бы ни была степень расстояния, согласно
которой действует эта сила, члены аа, bb и те члены, которые содержат х,
исчезнут ранее сс. Для равновесия будет достаточно, чтобы Аа = ВЬ, т. е.
чтобы массы
*) См. Fermat, Oper. mathem., а также Meehan, de М. Varignon, Sect. V.
22
П. МОПЕРТЮИ
обоих тел находились в обратном отношении к плечам рычага, потому что
равновесие не зависит от х.
Если п = 1, т. е. если сила прямо пропорциональна расстоянию до центра К,
то в качестве условия равновесия мы имеем еще Аа = ВЬ. Отсюда очевидно,
что в таком случае существует еще точка С, относительно которой система
двух тел всегда будет в равновесии, если она была в равновесии хотя бы
один раз, т. е. при этих двух предположениях центр тяжести всегда один и
тот же во всех положениях системы.
Согласно закону покоя, очевидно, что, кроме случая этих двух
предположений, невозможно, чтобы существовал подобный центр.
Из простого уравнения
п-±
( 2 hr \ 2
Аа (сс + аа + 2сх) 2 = Bb (сс + bb - xj
вытекают только два положения равновесия для рычага : одно справа, а
другое слева.
Имеются, однако, еще два положения, в которых тела пребывают как бы в
состоянии равновесия ; это положения, при которых оба тела находятся на
линии, проходящей через центр силы и через точку опоры.
Хотя предыдущее уравнение не дает этих двух положений, они тем не менее
содержатся в законе покоя и в первом уравнении, из него вытекающем ; при
этом они задаются соотношением dx = О.
Легко видеть, что если сила тяжести неизменна, как это предполагается в
обыкновенной Механике, и направлена к центру Земли, то, строго говоря, в
телах нет центра тяжести, т. е. точки, за которую тело, будучи подвешено,
удерживается в любом положении, хотя в каждом из этих тел имеется точка,
которую физически можно принять за центр тяжести по причине малости тел и
рычагов, являющихся объектом обыкновенной Механики, по сравнению с
расстоянием их до центра Земли.
В дальнейшем мы дадим другие приложения этого закона.
Добавление. Наш закон относится не только к силам, которые притягивают в
зависимости от одной и той же степени расстояния, но и к силам, совсем
независимым от какой бы то ни было его степени. Достаточно, чтобы эти
силы были пропорциональны любой функции расстояния ; вместо того, чтобы
выражать их через /С, f'C', f" С", можно их выразить с помощью /Z, f'Z',
f"Z", где Z, Z', Z" обозначают произвольные функции расстояний С, С', С",
которым они соответствуют; доказательство остается тем же. Для того чтобы
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed