Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
удвоенное произведение HN на NV равно удвоенному произведению SN на NR.
Поэтому квадрат HR равен сумме квадратов HN и NR минус удвоенное
произведение HN на NV.
Однако доказано, что квадрат NR больше, чем квадрат NV. Следовательно,
квадрат HR больше, чем сумма квадратов HN и NV минус удвоенное
произведение HN на NV. Но, по Евклиду, сумма квадратов HN и NV минус
удвоенное произведение HN на 2VV равна квадрату прямой HV. Следовательно,
квадрат HR больше, чем квадрат HV, и поэтому прямая HR больше, чем прямая
HV. Что требовалось доказать.
Если же мы возьмем точку R на полудиаметре AN так, что прямые MR и RH
будут продолжать друг друга и составлять одну прямую линию, как это
показано на следующем рисунке, то, поскольку наше доказательство имеет
место для любого случая, будет то же самое, то есть сумма прямых PR и RH
будет больше суммы прямых JN и NH.
Пусть, как выше, радиус MN относится к DN, как RN к N0, и DN относится к
NS, как N0 к NV. Ясно, что прямая RN больше, чем прямая N0, а прямая N0
больше, чем прямая NV.
Квадрат MR равен сумме квадратов MN и NR минус удвоенное произведение
DNR, или, согласно вышеприведенному соображению, минус удвоенное
произведение MNO. Но поскольку квадрат NR больше квадрата N0, то квадрат
MR будет больше суммы квадратов MN и N0 минус удвоенное произведение MNO.
Но сумма квадратов MN и N0 минус удвоенное произведение MNO равна
квадрату прямой МО. Следовательно, квадрат прямой MR больше квадрата
прямой МО и поэтому прямая MR будет больше прямой МО.
Но поскольку по построению DN относится к NS, как MN к JN и N0 к NV, то,
следовательно, MN относится к JN, как N0 к NV, и в свою очередь MN к N0,
как NJ к NV', далее, МО относится к ON, как JV к VN, и в свою очередь МО
относится к JV, как ON к NV, или DN к NS или MR к RP. Однако доказано,
что MR больше, чем МО. Следовательно, PR будет больше, чем прямая JV.
Итак, чтобы всесторонне обосновать наше предположение, остается доказать,
что прямая RH больше суммы двух прямых HN и NV, а это из вышесказанного
весьма легко сделать.
Рис. 2.
10
П. ФЕРМА
Ибо квадрат RH равен сумме квадратов HN и NR плюс удвоенное произведение
SN на NR, или, как это видно из доказанного выше, плюс удвоенное
произведение HN на NV. Но квадрат NR больше квадрата NV, следовательно,
квадрат HR больше суммы квадратов HN и NV плюс удвоенное произведение HN
на NV. Отсюда следует, что прямая RH, из показанного выше, будет больше,
чем сумма прямых HN и NV.
Итак, ясно, что прямые PR, RH (или, когда это имеет место, единая прямая
PRH) всегда будет больше двух прямых JN, NH. Что и требовалось доказать.
И. БЕРНУЛЛИ
НОВАЯ ЗАДАЧА,
К РАЗРЕШЕНИЮ КОТОРОЙ ПРИГЛАШАЮТСЯ МАТЕМАТИКИ [5]
В вертикальной плоскости даны две точки А и В (рис. 1). Определить путь
АМВ, спускаясь по которому под влиянием собственной тяжести, тело М,
начав двигаться из точки А, дойдет до другой точки В в кратчайшее время.
Для того чтобы вызвать интерес со стороны любителей подобных вопросов и
побудить их охотнее предпринять попытку разрешения указанной
/7
задачи, довожу до их сведения, что эта задача не сводится к пустой
умственной спекуляции, лишенной какого бы то ни было практического
значения, как это может кому-либо показаться. В действительности, она
представляет очень большой практический интерес и притом, кроме механики,
также и для других дисциплин, что может всем показаться неправдоподобным.
Между прочим (указываю это с целью предупредить возможное неправильное
суждение), хотя прямая АВ и является кратчайшей линией между крайними
точками А и В, тем не менее тело проходит ее не в кратчайшее время, и
существует кривая АМВ, хорошо известная геометрам. Я назову эту линию,
если, по истечении текущего года, никто другой ее не назовет.
И. БЕРНУЛЛИ
КРИВИЗНА ЛУЧА В НЕОДНОРОДНЫХ ПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛАХ
И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ,
предложенной мною в "Acta" за 1696 г., стр. 269, о нахождении "брахисто-
хронной линии", т. е. такой линии, по которой тело должно проходить от
одной заданной точки до другой в кратчайшее время; затем о построении
"синхронной кривой", т. е. волны лучей [6]
В последнее время появилось столько методов, которые получили название
методов максимумов и минимумов, что лица, хвалящиеся тем, что они авторы
этих методов или последователи их авторов, считают, что в этом вопросе
почти ничего не осталось сколько-нибудь тонкого, чего они с их остроумием
не могли бы разрешить. Пусть они думают со слов учителя как им угодно, но
если бы они захотели попробовать, то они увидели бы, что наша задача
меньше всего может быть уложена в тесные рамки их методов, если даже они
их настолько расширят, что смогут из заданных многих или бесконечно
многих величин найти одну, которая будет максимумом или минимумом.
В самом деле, в нашей задаче самые величины, из которых следует избрать
максимум или минимум, не больше определены, чем та величина, которая
определяется. В этом все дело, в этом и заключается вся трудность.
