Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
St.-Petersbourg, VI serie. Sciences math, et phys., т. IV, стр. 42),
изложив общий способ находить уравнения, выражающие условие, что вариация
данной интегрируемой функции должна быть точным дифференциалом, и указав,
что в этих уравнениях содержатся как частный случай уравнения динамики,
высказывает мнение, что анализ, которым Лагранж выводит уравнения
динамики из начала наименьшего действия, не верен и что нельзя получить
эти уравнения, требуя, чтобы варьяция интеграла, выражающего действие,
была равна нулю, или, что то же, требуя, чтобы варьяция подынтегрального
выражения была точным дифференциалом, потому что (как думает Остро
градский) при этом варьяции координат или главных переменных, заменяющих
координаты, обусловливаются уравнением, происходящим от варьяции
уравнения живой силы ; между тем как для вывода изопериметрических
уравнений, содержащих в себе уравнения динамики, необходимо рассматривать
эти варьяции как величины совершенно независимые. После того
Остроградский в подтверждение своего мнения показывает, что если приложим
общий способ разыскания относительных max или min к интегралу,
выражающему действие или, что то же, к разысканию условия, что варьяция
подынтегральной функции есть точный дифференциал, соединив с этой
варьяциею посредством неопределенного множителя условное уравнение,
происходящее от варьяции живой силы, то получаются уравнения,
отличающиеся от уравнений динамики.
Ни Гамильтон, ни Якоби, столь блистательно усовершенствовавшие общую
теорию динамики, основание которой положил Лагранж, не видят неточности в
анализе Лагранжа, указываемой Остроградским, и Якоби в своих лекциях о
динамике (Vorlesungen tiber Dynamik, Berlin, 1886, стр. 49), изменив
несколько прием Лагранжа для доказательства, что уравнения динамики
содержатся в начале наименьшего действия, приходит совершенно к тому же
результату, как и Лагранж. Упомянутый же выше прием, которым
Остроградский хочет доказать, что уравнения динамики не могут вытекать из
начала наименьшего действия, был уже употреблен с противной целью
Родригом (01. Rodrigues, Correspondence sur l'ecole polytechnique, т.
Ill, 1819), и Родриг вывел из начала наименьшего действия уравнения
динамики в том общем виде, как они даны Лагранжем в аналитической
механике. Это кажущееся несогласие результатов Родрига и Остроградского
зависит только от того, что Остроградский не заботится об определении
множителя, посредством которого условное уравнение соеди-
ЗАМЕЧАНИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К НАЧАЛУ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
393
нено с варьяциею подынтегральной функции, а Родриг его находит, с помощью
уравнений, относящихся к пределам интеграла. При этом Родриг не
усматривает никакой неточности в приеме Лагранжа и предлагает вместо него
свой с тою только целью, чтобы дать новый замечательный пример
употребления множителей при разыскании наибольших и наименьших величин и
окончательного определения таких множителей с помощью уравнений,
относящихся к пределам.
Приведенное мною мнение Остроградского было сообщено отчасти вместе с
другими воззрениями профессору Брашману в 1853 г. в письме, которое было
напечатано с некоторыми пропусками в первом томе Московского
математического сборника в 1866 г. После того появилось в нашей
литературе несколько рассуждений о начале наименьшего действия; одни
утверждали справедливость мнения Остроградского, что начало наименьшего
действия в том виде, как его дает Лагранж, не имеет места; другие, - что
начало верно, но анализ Лагранжа ошибочен; наконец, третьи, - что начало
верно, что нет никакой ошибки в лагранжевом доказательстве. Присоединяясь
к тем, которые утверждают последнее мнение, я постараюсь показать в этой
записке источник того недоразумения, которое побудила Остроградского к
вышесказанному обвинению Лагранжа в неточности анализа, и подтвердить
новыми разъяснениями справедливость заключения, что в начале наименьшего
действия (в том смысле, как понимает его Лагранж) в самом деле содержатся
все уравнения динамики.
2. Сущность лагранжева доказательства (Mecanique analytique, Paris,
1853, т. I, стр. 279), что из начала наименьшего действия выводятся
уравнения динамики, состоит в следующем : варьяция интеграла, выражающего
действие, преобразовывается в интеграл от момента потерянных сил
относительно возможных перемещений, и этот момент полагается равным нулю
на основании того, что варьяция действия должна быть равна нулю; отсюда
Лагранж заключает, что начало наименьшего действия дает общее уравнение
динамики, выражающее равновесие потерянных сил. Далее в члене сороковом
Лагранж говорит, что из этого уравнения выводятся все уравнения,
необходимые для решения вопроса, а в следующем члене, сорок первом,
замечает, что прямоугольные прямолинейные координаты могут быть заменены
другими переменными, и для примера заменяет полярными ; от такого
замечания получается линейное уравнение относительно варьяций новых
переменных, откуда можно выводить все уравнения, необходимые для решения
