Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
отличающихся порядком букв, отличаются только знаком и могут считаться за
одно.
Все значений символа (аГ! as), которые находятся с помощью I
интегралов, зависят от х, ? и t и тех из величин а, которые содержатся в
I данных интегралах. Заметим еще, что мы не можем избавиться от х и I,
как в случае 2тп интегралов, так как I интегральных соотношений
недостаточно для нахождения 2тп величин, если
I < 2тп.
Но с помощью этих же соотношений можно избавиться, используя их
соответствующим образом, от величины а, так как последних столько же,
сколько интегралов, т. е. мы можем предполагать, если окажется нужным,
что величины а не входят в найденные (ar> as).
Но сделали ли мы это предположение или будем считать, что найденные
1 ^ y ~~ значений символа (ап as) содержат а, эти значения всегда будут
независимыми от времени. Следовательно, можно приравнять каждый из
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 385
них переменной, не зависящей от времени, а это даст нам ^ соотно-
шении между х, ? и временем, т. е. столько же, сколько интегралов
уравнений (14).
Если среди последних находятся такие, которые не входят в данное ранее
число I, то мы можем использовать их для получения новых зндчений символа
и т. д.
Блестящий французский геометр Пуассон не заметил, по-видимому, одной из
полученных им формул, которая в частном случае динамики сводится к нашему
уравнению (90). Это не первый и, без сомнения, не последний пример того,
как автор не замечает всех применений или следствий установленной им
теоремы или принципа. Так как он рассматривает теорему только в
применении к объекту, который имеет в виду, то неудивительно, что многие
применения и следствия ускользают от его внимания. Однако, по
справедливости, ему должна принадлежать большая часть заслуг открытия
следствий, выведенных другими из его принципов.
15. Определение значений символа (ап as) может быть упрощено в
некоторых частных случаях посредством особых преобразований и приемов. Но
вдаваться в детали этого не является нашей задачей, и мы ограничимся
только одним замечанием.
Умножим второе из уравнений :
.е d@ dSiJt ~ rfx(r) '
dx(r) = -dt
^ i. к
(14)
на множитель Пик - конечную функцию х и i или содержащую в линейной форме
дифференциалы этих переменных относительно произвольных постоянных, и
вычтем результат из первого уравнения, умноженного на функцию pitk,
аналогичную Пик. Мы получим
Pi,к №i,k - nitk dx(r) = ^pik ~dx(kj + nik d" J dt,
откуда
22 Ovdkk -nUkdx(r)) = dt22 [p*+ n*-#-) •
i=l k=0 ; = 1A=0V i Uii,k I
Если выбрать pi:k и Пик таким образом, чтобы сделать последнее уравнение
интегрируемым, то получим
Г т n~~^ Г т п~1 I иг"! w/Я 'I
Буква Н обозначает переменную, независимую от времени. Уравнение (91)
есть интеграл уравнений (14). Из последних получим
d^,k=-^k)dt + xUkdt,
(80)
остается только предположить, что Н зависит от t, причем вид этой зависи-
dx(r) = - dt - Shk dt;
i,k
25 Вариационные принципы механики
386
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
мости подлежит определению. Продифференцируем (91), считая Н переменной.
Мы получим
т n-i т л-1 / .//л dfo \
22 (р,,кd?,,k -dxf) = dt22 \Р^7Ж + П'^г}+Ш-1 = 1 k=Q i =
lfc=o'- i uii,k J
Заменяя d? й dx их значениями (80) и вычеркивая то, что взаимно
уничтожится, получим
m. n- 1
dH = dt 2 2 (Р',х х>." + ni* я<>) • (92>
1=1к=О
Это уравнение дает значение Н, при котором формула (91) превращается в
интеграл уравнений (80). На самом деле предыдущее выражение для dH не
имеет формы (88), подходящей для величин, введенных интегрированием когда
они превращаются в функции времени. Но его нетрудно привести к такой
форме в частном случае.
Предположим, например, что функция V, а следовательно и 0, не содержит
явно времени. Тогда можно сделать формулу (91) интегрируемой, положив
_ й@ п - d&
Pi'k _ 'diiik ' ''к~ dxf '
так как при этом она превращается в уравнение
°-\ЖЖ{^+^'А+н <93>
или в
в + Л = 0. (93)
Величина - Ли будет значением Н, подходящим для нашего частного случая.
Уравнение (93) отличается от уравнения живых сил только тем, что величина
Л зависит здесь от времени. Ее величина, или, вернее, величина ее
дифференциала по времени, получается из формулы (92):
i=mk-n-l г d(r) Л
- dh - dt ^ v Iv.. ---4\._(r)bLl
i=mK=n- l /
;=1 k=0 к
dhk
или, если заменить и их значениями из уравнений (80), то
йх I USi^k
i=mk=n-1
dh = 2 2 {Xi,kdx^ + Eitk diitk). (94)
/=1 k=0
Для приведения дифференциала dh к форме (88) заметим, что так как в не
содержит явно времени, она не входит больше в уравнения (14). Из этого,
как известно, следует, что между величинами, появившимися при
интегрировании, имеется одна, которая всюду добавляется к времени.
Поэтому, обозначая только что упомянутую величину через е, мы должны
считать как х, так и i функциями t + е.
Это имеет место, повторяем, вследствие того, что нигде t не появляется
без сопровождающей его е и нигде е не появляется без t. Поэтому
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 387
