Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 174

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 461 >> Следующая

пространства и так как все они подчиняются условию : Т = Я -f h.
Направления начальных скоростей могут быть различны.
Если свободное движение сравнивается со свободными же, то, очевидно, эти
последние не могут происходить под действием той же силы; иначе все
сравниваемые движения определялись бы уравнениями
'dTl (Рх dTl (Ру dTl (pz
dx dP ' dy dP ' dz dP
i,
и для всех движений jTdt имел бы наименьшую величину. Сила изменя-

ется, следовательно, в сравниваемых движениях.
Всякое несвободное движение можно рассматривать как свободное,
происходящее под действием силы и сопротивлений.
М Включая в число сравниваемых движений свободные и несвободные, можно
изменение силы в сравниваемых движениях производить трояко: 1) можно
изменять самую движущую силу; 2) можно, не изменяя самой движущей силы,
прибавлять к ней сопротивления; 3) можно изменять
ЗАМЕТКА О НАЧАЛЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
389
самую силу и прибавлять к ней сопротивления. Из этих трех случаев
особенно замечателен второй.
Уравнение Т = П + h всегда будет иметь место, если силовая функция и
условия не будут содержать времени и если величина начальной скорости
будет одна и та же. Начало наименьшего действия Лагранжа получает здесь
ti
следующее простое выражение : J Tdt Для свободного движения точки
to
имеет величину, меньшую, чем для всякого несвободного, происходящего под
действием той же силы, имеющего ту же начальную скорость (по величине) и
проходящего через те же начальную и конечную точки.
Обратимся к примеру.
Вообразим параболическое движение наклонно брошенной тяжелой точки.
Положим, что начальная скорость v очень велика, но угол наклона ее к
горизонту очень мал. Это движение сначала будет очень мало разниться от
горизонтального прямолинейного равномерного, имеющего скорость v0. (Для
большего сближения движений можно, если угодно, заменить тяжесть другою
постоянною силою, имеющею произвольно малую напряженность.) Положим, что
оба движения происходят в плоскости xz, первое определяется уравнениями
х = v0 cos <pt, z = v0 sin <pt - у gt2;
второе определяется уравнениями
x = v0t, z = 0.
Силовая функция для первого движения будет : - gz. Уравнение Т = = П + h
или v2 = v% - 2gz будет иметь место и при втором движении. Сравним оба
движения между теми точками, в которых пересекаются траек-
тории ; сравним выражения jTdt '¦
t.
для первого движения
Т = у (vo ~ 2voSin <pgt + gt2}, для второго движения
для первого движения
для второго движения
для первого движения
Т - - и2 •
1 - 9 гО >
*1 =
2 v0 sin q> g
. 2 v0 sin д> cos ф
1 ~ e '
390
Ф. А. СЛУДСКИЙ
для второго движения
|ТЙ =
"о sin rp cos <р
g
t!o Sin <р
g
Итак, при малых величинах <р величина jTdf для первого движения
меньше, чем для второго.
Начало наименьшего действия Остро градского в применении к дви-
имеет величину меньшую, чем для всякого другого, проходящего через те же
начальную и конечную точки, начинающегося и оканчивающегося в те же
моменты времени.
Начальные скорости могут здесь различаться не только по направлению, но и
по величине. Все сравниваемые движения не могут и здесь происходить под
действием одной и той же силы, иначе все они определялись бы уравнениями
в сравниваемых движениях может быть заменено прибавкою сопротивлений,
происходящих от условий.
Возьмем опять параболическое движение наклонно брошенной тяжелой точки и
горизонтальное прямолинейное равномерное.
жения должны начинаться и оканчиваться не только в одних и тех же точках
пространства, но в одни и те же моменты времени, то величины начальной
скорости в них должны быть различны. Изменим величину начальной скорости
во втором движении, означим ее через vv Она будет равна vQcosq>. Примем
за П силовую функцию первого движения. Для первого движения
жению свободной точки состоит в том, что J (7 -f П) dt для движения
точки, определяемого уравнениями
ЦП d2x dll d2y dn d2z
dx dt2 ' dy dt2 ' dz dt2 '
dn d2x dn d2y dn d2z
dx dt2 ' dy dt2 ' dz dt2 '
*1
и для всех J (г + Я) dt имел бы наименьшую величину. Изменение силы
и
и
Сравним величины J(Я-fT)^^f для этих движений. Так как оба дви-
и
П + Т = -2 К - 4 и0 sin 95 gf + 2 g2f2),
для второго движения
П+Т = yt;§cos29>.
Для обоих движений
ЗАМЕТКА О НАЧАЛЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
391
Для первого движения
|(Я + Т)Л = г^[1- ysin2 <р\, и
для второго движения
J(tf+ Т)<Я= - sin29s] •
f,
Итак, J (77 + T) dt для первого движения меньше, чем для второго.
и
Если бы мы приняли за П силовую функцию второго движения
h
(нуль), то нашли бы, что для первого движения j (П -f Т) dt равняется
3 ¦
v° ^1 - у sin2 и что для второго движения он равняется
г>о sin у ^ _ sin2 гр). Результат, как и должно быть, получился бы
обратный.
о. и. СОМОВ
ЗАМЕЧАНИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К НАЧАЛУ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ [14в]
1. Остроградский в мемуаре о дифференциальных уравнениях, относящихся
к вопросу об изопериметрах (Memoire sur les equations differenteilles
relatives au ргоЫёте des isoperimetres, 1848. Memoires de l'academie de
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed