Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 176

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 461 >> Следующая

вопроса, приведя сперва все варьяции к наименьшему числу и составив
отдельные уравнения из членов, заключающих каждую варьяцию: "et on en
tirera les equations necessaires pour la solution du ргоЫёше, en
reduisant d'abord toutes les variations du plus petit nombre possible,
faisant ensuite des equations separees des termes affectes de chacune des
variations" *). Неполнота лагранжева доказательства, состоящая в том, что
он не выводит на самом деле уравнений динамики, была, как кажется,
главным поводом к недоразумению, в которое впал Остроградский. Подводя
лагранжев вопрос об отыскании условий, при котором варьяция действия
равна нулю, под свой взгляд, по которому требуются условия
интегрируемости выражения 8(Т dt), где Т есть сумма произведений масс на
квадраты скоростей (по нынешним понятиям двойная живая сила),
Остроградский (стр. 42 его мемуара) уверяет, что "Лагранж, исходя от
интегрируемости 8 (Т dt\ получает уравнения (9)
*) "Отсюда можно вывести уравнения, необходимые для решения поставленной
задачи, если сначала все варьяции свести к возможно меньшему их числу и
затем отдельно приравнять нулю все члены, в состав которых входит каждая
из оставшихся варьяций".
394
О. и. СОМОВ
и (14) (заключающие в себе уравнения динамики), но анализ великого
геометра неточен" и что будто существо этого анализа (измененного
сообразно со взглядом Остроградского) состоит в следующем : "варьяция 8
(Т dt) есть точный дифференциал; но Т = V- в *), следовательно, 5(Vdt) -
- 5(6 dt) или, по причине 6 = -h, 8{V dt) - db(ht) также есть точный
дифференциал"; но dd(ht), очевидно, интегрируется, а потому 8(V dt) будет
также интегрируема. Отыскивая же условия интегрируемости 8 (V dt), мы
получим уравнения (9) и (14) (т. е. уравнения динамики). Но можно их
получить не иначе, как освободив варьяции 8х от всякой между ними
зависимости, а этого мы не достигнем, если положим
0(0 + Л) = 0.
Все это, однакож, мало похоже на то, что говорит Лагранж в Аналитической
механике, в 40-м члене второй части. Уравнение (а), или 8-^Т -
= 8U -f dh, не представляет никакой связи между варьяциями дх главных
переменных, приведенных к наименьшему числу, потому что оно, кроме этих
варьяций, содержит еще 8 dt, которая, как сам Остроградский полагает, не
равна нулю; следовательно, можно взять варьяции дх совершенно
произвольно, лишь бы при этом было взято для д dt соответственное
значение, выведенное из уравнения (а). Варьяции дх в таком только случае
будут связаны между собою уравнение (а), когда 8dt = 0; но этого Лагранж
не предполагает, что ясно видно из формулы, находящейся в конце стр. 275
(Мёсап. analytique, Paris, 1853); следовательно, варьяции, находящиеся в
упомянутом выше результате Лагранжа, не обусловлены уравнением (а). Но
они обусловлены иначе,.а именно тем, что варьяции переменной, к которой
отнесено интегрирование, в интеграле, выражающем действие, равны нулю,
потому что Лагранж в самом начале своего доказательства 8 j заменяет J д
и через то предполагает, что пределы интеграла остаются без варьяции ;
следовательно, он мысленно относит интегрирование к такой переменной,
варьяция которой равна нулю как для пределов интеграла, так и для
промежуточных значений. Эта переменная не есть время, потому что d dt не
равен нулю ; но можно для нее взять одну из координат, как делает Якоби,
или некоторую определенную функцию главных переменных, заменяющих
координаты. Вследствие этого варьяции этих переменных будут связаны
линейным уравнением, помощью которого можно исключить из момента
потерянных сил, находящегося под знаком интеграла в результате Лагранжа,
одну варьяцию, после чего мы вправе будем приравнять нулю коэффициенты у
остальных варьяций ; от этого получатся уравнения, число которых будет
одним меньше числа всех уравнений динамики ; но это недостающее уравнение
дополняется уравнением живых сил. То же заключение относится и к
результату, получаемому Якоби (Vorlesungen tiber Dynamik, стр. 49). Якоби
для большей легкости исключает дифференциал времени под знаком интеграла,
выражающего действие, помощью уравнения живой силы и относит
интегрирование к одной из координат. Такое преобразование интеграла,
выражающего действие, было доказано Лиувил-лем**) прежде появления в свет
лекций Якоби о динамике. Хотя оно способ-
*) Обозначая через U потенциал сил, должно положить V--T+U ив = U -1г Т.
Уравнение живых сил есть в + h = 0 или -i- Т - U + h.
**) Expression remarquable de la quantitd qui, dans le mouvement d'un
systeme de points mat&riels a liaisons quelconques est un minimum en
vertu du principe de la moindre action. Journal de math, pures et
appliqu^es, серия 2, т. 1.
ЗАМЕЧАНИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К НАЧАЛУ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
395
ствует и уяснению начала наименьшего действия, однакож не составляет
необходимости. Относя интегрирование ко времени и изменяя предел
интеграла, можно получить самое общее выражение варьяции действия и
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed