Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
малыми высших порядков, получим
•I
8А = J" 2ёх Tdt + 2Т2 dt2 - 2ТХ 8tx = дхА + 2Та dt2 - 2Тх 8tx, (4)
где Тх и Т2 суть значения 7, соответствующие t = tx и t = ta.
Можно проверить эту величину дА, переменив в А интегрирование по t на
интегрирование по а. Тогда
<"1
где ах и а2 суть значения а для крайних положений (Мх, М[,...) и (М&
М2,...) и
>А - J1 (2Т1)ia -1 И2Т> 1 +2Т г I]"";
а, а,
НО
d2T
8(2T) = 81(2T)+^-dt и <5-^ = ^,
da
потому что да = О, следовательно,
М = J [а, (2Г) ? + " + 2Г ^-] Л> = J А 2Г A da + *.
ах "X "1
Переменив опять интегрирование по а на интегрирование по t} будем иметь М
= J б, (27) d + J dt = М + 272 <5/2 - 2ТХ 8tx,
"I и
что согласно с формулою (4).
Зависимость между t и ^ q2,...,qn в первоначальном движении установим
уравнением
T = U + h, (5)
где U - данная функция от qlt qa,..., qn, не содержащая явно t, и h -
постоянное количество; отсюда получим
398
О. и. сомов
Мы допустим такую же зависимость между t и qlt qa,..qn и в измененном
движении, переменив только постоянную h на h + dh, где dh - бесконечно
малая величина.
От этого получим уравнение
связывающее dqk с d dt и ddt. Оно равносильно с тем, которое получим,
взяв варьяцию уравнения (6), а именно:
Это уравнение, как мы заметили в члене 2, не обусловливает варьяций dqk,
а дает возможность определить dt, соответствующее произвольным значениям
dqk.
Приняв во внимание уравнения (5) и (6), раскроем выражение (4). Означая,
как обыкновенно принято, через рк вспомогательные величины Пуас-йТ
сона -j-r, вследствие однородности 7 относительно q'k имеем 27 = 27 pkq'k
и
uQk
Так как варьяция dkqk взята при условии, что t и dt остаются без
варьяции"
С другой стороны, если мы выразим Г в функции переменных qk и рк и
возьмем варьяции по знаку б1; то получим
и вследствие уравнения (7), в котором должно положить dt = О, чтобы
перейти от варьяций d к 81? получим
дТ = dU + dh,
(7>
2 ijT = 2 Рк hq'k + 2 Qk <5i Рк ¦
то ^ q'k = -j--, а потому
Рк \q'k = Pk-
и, следовательно,
2 dlT = + 2 q'k <5iРк -2 Pic \qk ¦
(8)
а так как
то
UJ ____ ,
dpk ~ '
diT = 2^j-k^4k + 2 q'k^iPk
(9)
W = 2-^qk + th.
Сравнив это с выражением (9), найдем
ЗАМЕЧАНИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К НАЧАЛУ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
399
или
2ч'АРк=-2-^ + *ь>
где положено Н=Т - U, как принято в начале Гамильтона. Поэтому выражение
(8) приводится к следующему:
2\т - -2(и+-Ц-}•
Подставив это в формулу (3) и интегрируя по частям, получим
t
^1^ = t 2 (Pk^lQk) - j*2 (Pk + ^lQkdt + (к - h) dh • (10)
и
Чтобы перейти отсюда к выражению (4), стоит только прибавить 2T2dt2-
27\df1 = 2PkQkdt,
следовательно, дА = Здесь имеем
t '
2 Рк (ЬЯк + q'k dt) - j 2 (р'ь + *гЧк dt + (k-h)dh. (11)
и
и
dtfk + q'kdt = wk + q'k dt = dqk
2 [p'x + 4$ *4k = 2 {px - dqk - 2 {Pk + Z) q'k dt,
и так как
, dh \ , ^(dT , , dT , dU Л dT dU n
^ + 4k ~ ^{diPk + l^qk ~ ~d^qk) - ~dT - ~df - °' (I2>
TO
2 (p'x + Э ё^х =2 {p'x - Z) d(!x и формула (11) приведется к следующей :
dA = [' 2 Рх dqk~\ 2 [Pic + ZZ) ё(1х dt + (к " *i) М • (13)
1 А
Эти формулы одного вида с формулою (10). .
Положим теперь, что первоначальное движение происходит от действия сил,
имеющих потенциалом функцию U; тогда переменные qk определяются
уравнениями
^ = (при А =1. 2,..., к), (14)
в которых заключается и уравнение (5); вследствие же уравнения (14)
варьяции (10) и (13) освобождаются от знака интеграла и приводятся к
следующим выражениям:
<5]А = (2/ Рк ^kil - (2 Pk mk)-L "Ь (^2 ^l) dh , (15)
ё А = (2 Pk dq)2 - (2 Pk %)i + (к ~ к) dh, (16)
400
о. и. сомов
где (Е и (Е pkbq\ суть значения Е рктк и Ерк dq для положения системы (Mv
М[,...), а (Ерксок)а и (Epkbqk)a - значения тех же функций для положения
(Ма, М'2>...).
Если эти два крайних положения системы не изменяются, то соответственные
им значения варьяций дqk равны нулю, т. е. точки (vv ...) и (va, va,...)
совпадают соответственно с точками (Мъ М[,...) и (Ма, Ма,...); в таком
случае (Epkbqk)1 = О, (Epkdqk)1 = 0 и, следовательно,
т. е. когда крайние положения системы не изменяются, тогда варьяция
действия равна времени движения, умноженному на варьяцию разности живой
силы и потенциала, если только в измененном движении имеет место
уравнение живой силы. Когда потенциал TJ способен иметь значение maxim, и
TJ1 есть самое большое из них, то U1 - TJ будет то, что Rankin (Ранкин)
называет потенциальною энергиею, а Е = Т + U1 - V (сумма активной энергии
Т с потенциальною) - полною энергиею. Так как 6U1 - 0, то bE = bh, и
уравнение (17) дает bA - (ta-1±) ЬЕ, m. е. варьяция действия равна
времени движения на варьяцию полной энергии.
В этой теореме, самой по себе замечательной, содержится как частный
случай лагранжево начало наименьшего действия, которое получим, положив
dh или ЬЕ равным нулю. Тогда дА = 0, т. е. если истинное движение
изменится бесконечно мало на другое, так что крайние положения не
изменяются и в новом движении имеет место закон сохранения полной
энергии, причем первая варьяция полной энергии равна нулю, то и первая
