Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
варьяция действия равна нулю. Вот, кажется, самое определительное понятие
о начале наименьшего действия как теореме аналитической механики.
Условие, что bqk = 0 для крайних положений, дает cok + qkbt = 0, т. е. тк
= -q'kbt, а потому в рассматриваемом случае формула (15) приводится к
следующей :
д1А = - (2>/; q'k)2 К + (2 Рк q'k) 1 = - 27\j dta + 2
7\ = (t2 - Q dh.
Из этого видно, что если bh = 0, то ^.А равно нулю ; это, впрочем,
получается прямо из формулы (4), если положить 6А = 0. Итак, дА и вместе
не равны нулю, и было бы ошибочно выразить начало наименьшего действия
уравнением ЬгА = 0.
5. Перейдем теперь к доказательству лагранжевой теоремы, что в начале
наименьшего действия содержатся все уравнения динамики.
Положив, как требует это начало, bh = 0 и для крайних положений Sqk = 0,
по формуле (13) будем иметь
dA = (ta - t1)dh. Здесь 6/г = ЬТ - bU = ЬН, а потому
дА = (ta - U) дН,
(18)
(17)
и
t.
Надобно показать, что из условия 6А = 0 или
h
(18)
можно вывести уравнения динамики под каноническим видом.
ЗАМЕЧАНИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К НАЧАЛУ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
401
Вместе с уравнением (18) имеем условное уравнение
>"-^>Ь + ^ + ... + -^19" = 0. (19)
Здесь а есть функция произвольного вида относительно переменных Чь' • -
>Чп- Для избежания исключительных случаев мы положим, что она содержит
все эти переменные, и для простоты возьмем для него линейную функцию
" = "1 Чх + "2 Чг + • • • + ап Qn ,
где ни один из коэффициентов а1( а2,..., а" не равен нулю; в таком случае
условное уравнение (19) приводится к следующему:
ai ^Чг + а2 ^Чъ + • • • + ап dQn - 0 • (20)
Положим, что все варьяции, исключая bqr и bqs, равны нулю; тогда
уравнение (20) можно удовлетворить, положив bqr = as /5, bqs - -агр и
взяв для /5 произвольную величину; от этого по уравнению (18) получим
(21)
tl
и, следовательно,
р; + ^=о (22)
для всякого значения г. Итак, уравнение (18) заменяется системой
урав-
нений
Р1 + Ж = 0' P' + fH' •¦¦¦' ^ + Ж = 0' (23)
что вместе с системою
dH dH dH
dPx
вытекающею из формулы
q'1~dp1' q'2~ dPi> •••' qn~ dpn
> _ dJL - d(-T ~ u)
qn ~~ dpn ~ dpn '
представляет полную'систему уравнений динамики под каноническим видом.
Уравнения (23) приводятся к лагранжевым уравнениям:
, _ dT_, dU , _ dT dU
P1 ~~ dqx dq1 ' ' ' '' Pn dqn dqn '
если подставим T-U вместо H и заменим частную производную-^-, взятую
*41{р
в том предположении, что Т есть функция величин qr и рп частною
производною ~, где
т=2^аг<й;.
Изложенное нами в этом параграфе может быть применено к результату
Лагранжа (Мес. ап., 1853, стр. 279)
SdtS(Pdp + Qdq + Rdr+... + bxd^ + dydjt + bzd-^) =0
26 Вариационные принципы механики
402
о. и. СОМОВ
после того, как р, q, г,..., х, у, z,... будут выражены в функции величин
дъ q2,..qn. Бертран на то, что Лагранж говорит об этом уравнении, делает
следующее замечание: "II n'est pas absolument exact de dire que cette
equation a lieu pour toutes les variations possibles, car les equations
de la liaison doivent toujours etre satisfaites. La suppression de
l'int6gration par rapport au temps semblerait devoir 6tre justifiee d'un
autre maniere, en remarquant par example que les valeurs de t entre
lesquelies elle est prise sont arbitrages"*). Лагранж не упускает из виду
условий связей, потому что в конце члена 41 он говорит о приведении
помощью этих условий всех варьяций дх, ду, dz,... к наименьшему числу.
Мнение же Бертрана, что можно освободить предыдущее уравнение от знака
интеграла на том основании, что пределы интеграла произвольны,
несправедливо. Эти пределы не произвольны, а определены крайними
положениями системы. Допустить в интеграле произвольные пределы значило
бы допустить, что положение системы во всякое время остается неизменяемым
или что варьяции дх, ду, dz равны нулю для всякого времени, а это
обращало бы подынтегральное выражение тождественно в нуль и,
следовательно, не привело бы к требуемому результату. Подынтегральное
выражение в лагранжевой формуле полагается равным нулю на другом
основании, которое указано во всяком руководстве к варьяционному
исчислению, а именно, на основании произвола значений независимых
варьяций, в функции которых выражаются все варьяции др, dq,..., дх,
ду,... Если бы подынтегральное выражение не было равно нулю тождественно
относительно произвольных варьяций, то для последних можно было бы взять
такие значения, при которых все элементы интеграла были бы положительные
и, следовательно, самый интеграл не равнялся бы нулю.
6. Скажу несколько слов об уравнении
9$(T + U)dt = 0, (а)
заменяющем лагранжево начало наименьшего действия, без тех ограничений
bT,U и варьяциях dqr, какие требует последнее. Вследствие того, что
Остроградский в письме к Брашману указывает на необходимость
рассматривать minimum интеграла\(T-\-U) dt вместо minimum J Т dt,
некоторые из наших математиков стали называть начало, заключающееся в
уравнении (а), началом Остроградского ; между тем как Якоби, Кирхгоф,
