Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
чем в том случае, если бы он имел постоянно свое конечное значение, т. е.
г
t-T=jerdr>(r-q)er. (205)
9
Следовательцо, хотя вг стремится к бесконечности, тем не менее (г - q) •
вг стремится к нулю, когда при уменьшении интервала мы заставляем г
стремиться к q. Поэтому разность
]аг<г - ¦ ' JUr - ^\ Ur (206)
ч ч ч
будет также стремиться к нулю одновременно с ее частной производной
первого порядка, взятой по р [121].
Мы находим, таким образом, следующую формулу для {т, со} (приняв во
внимание, что, как было показано, эта комбинация не зависит от г):
<Т) ^ =Д Ш'dr + ^г- • 7* • 571Мг} ' (207)
9 9
где знак Л означает, что берется предел, к которому стремится это выра-
Г-Ч
жение, когда г стремится к q. г
В последней формуле, как и в (199), интеграл J вг dr можно рассматривать
ч
как известную функцию от г, q, к, р или просто от г, q, к, если р.
исключается
278
У. ГАМИЛЬТОН
с помощью первого условия (186). Следовательно, он исчезает независимо от
к, когда г = q. Это можно обозначить так :
\вгйг = 0(r,q,k) - <&(q,q,k), (208)
Ч
причем форма функции Ф зависит от закона притяжения или отталкивания.
Поэтому, когда рассматривается зависимость этого интеграла от к и ц через
посредство зависимости от к и q, необходимо, чтобы интеграл не изменялся
вместе с к в процессе вычисления {т, со} по формуле (207), потому что его
г
частные производные (-^rj Or dr^, полученные, когда q считается
постоянной,
9
исчезают в пределе при г = q. Его изменение с изменением q также не
должно иметь места, потому что согласно формуле (186)
Поэтому рассматриваемый интеграл может считаться постоянным, и мы найдем,
наконец,
{т, со} = 0. (210)
Выражения (199) или (203) - оба стремятся к бесконечности, когда г
стремится к q, но всегда уничтожают друг друга.
36. Объединяя теперь наши результаты и представляя для большей ясности
каждую комбинацию в двух формах, в каких она встречается, когда
изменяется порядок элементов, мы получаем для каждой двойной системы
следующие тридцать выражений [122]:
{к, Я} = 0, {к, /г] = 0, {к, v} = 0, {к, т} = 0, [к, со} = - 1,
{А, к} = 0, {А, уи} = 0, {Я, v} = 1, {Я, т} = 0 , {Я, со} = 0,
{и, к} = 0, {/И, А} = 0, {/И, v} = 0 , {/^1 т} - 1, {/W, со} =
0,
{v, к} = 0, {р, Я} = - 1 , {г, уи} = 0 , {"', т} = 0 , {v, со} =
0,
{т, к} = 0, {т, Я} = 0 , {т, /и} = - 1, {т, v] = 0, {т, со} = 0,
{ш,к} = 1, {со, Я} = 0, {со, /сг} = 0 , {со, v} = 0, {со, т} = 0
.
В этой системе три комбинации
{/И, т}, {со, к}, {Я, V}
равны каждая положительной единице; три обратные комбинации
{к, О)}, {г, А}
равны каждая отрицательной единице, а все остальные равны нулю. Шесть
дифференциальных уравнений первого порядка для шести переменных элементов
какой-либо двойной системы (т, М) имеют согласно (О2) следующий вид:
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
279
Если мы опустим вариацию /, то все они могут быть в итоге представлены в
следующей форме для вариации Н2:
6Н2 = 2J т 0"' бт - т' d[i + со' бк - к' дсо + V dv - v' дХ). (Т2)
Эта единственная формула дает возможность вывести все 6л - 6
дифференциальных уравнений первого порядка для всех переменных элементов
всех двойных систем из вариации или из частных производных одной величины
Н2, выраженной как функция этих элементов.
Если мы решим ввести в уравнение (Т2) для 8Н2 вариацию времени t, то
должны только заменить 8т на 8т - dt, потому что согласно (Q2) 8t входит
только в таком виде, т. е. t входит только в форме t - т, в выражения
?<•> Уь ?/> х'ь Уь г', т<ак функции времени и этих элементов. Мы имеем
поэтому
*W=-2^k'=-2m^ (211)
и, следовательно, согласно формулам (Н2), (Q2),
Н1 = 2т1л. (212)
Окончательно находим
йЦ} - ПТ2\
dt ~ Ы ' >
Эта замечательная форма для дифференциала величины Нь рассматриваемой как
переменный элемент, является общей для всех проблем динамики.
Посредством общего метода она может быть выведена из формул пп. 13 и 14,
которые дают [ш] :
dH, _ дн, dt ~ дк
L* у бк1_бн1 дкл , дНг у (6Н, дквп _ дн, дк6,л _
\ \ 6Г] дсо да> dt]) ' ' " дкъп \ дг) да> дсо
dt] )
дЩ, дквп _ _ дНъ (Г).
dkx dt + дк2 dt+---+ дк6п dt - dt ' ^
где kv к2,..., квп являются какими-либо 6п элементами системы,
выраженными как функции времени и величин щ, со. При специальном и более
конкретном разборе мы увидим, что Нг + Н2 является постоянной
возмущенного движения и что при взятии первых проиг водных от Н2 по
времени эти элементы могут согласно (F1) считаться постоянными. Это также
замечательный результат только что рассмотренных общих принципов, но
нетрудно
дк
проверить, что первая частная производная какого-либо элемента ks,
взятая по времени, может быть выражена как функция одного только
элемента, не включающая время в явном виде.
О существенном различии между системами переменных элементов,
рассматриваемых в данном очерке, и системами, которые применялись
математиками до сих пор
37. Когда мы проинтегрируем дифференциальные уравнения переменных
элементов (S2), то сможем вычислить переменные относительные координаты
