Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
22т
причем знак суммирования Е, относится только к первым п - 1 массам.
Поэтому
Т =
¦im
".и*М?),+(?П+ +^M?),+(?)*+(?)V
_l-3-
^ 2т,
Если мы затем положим для сокращения :
г' _ 1 *L - t> _ ?'т?
х' ~ т 8? ~ ? 2т '
, 1 дТ , 2/ mr)' /1 от
У' = т1*=Г! 27Г' (,80>
, _ 1 дТ _ г, 2, т?
т <5?' ^ 2 т '
то получим выражение
И = ~ (х? + у? + г,?) Zm + \z,m (х',2 + у;2 + z',2) +
+ тх')2 + & тУ'У + & mz;>2}- и• (В2)
*) См. стр. 198, уравнение (69).
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ 271
Вариацию этого выражения следует сравнить со следующей формой (А2):
dt дН = (dx" дх'" - dx',, бх" + dy" 8у'" - dy'" бу" + dz" 8z'" - dz'"
dz") Em +
+ E,m (c/C dx', - dx', (5C -f drj by', - dy', brj -f c/C bz', - dz',
<5C), (C2)
чтобы образовать посредством нашего общего метода бп дифференциальных
уравнений движения первого порядка между 6п величинами х", у", z",
х'",у'", z'", I, f], С, х',, у',, 2/ и временем /. Определяя таким
образом вариацию Н, мы должны помнить, что силовая функция U зависит
только от 3п - 3 внутренних координат С, у, С и имеет вид
U = mn(m1f1 + m2f2 + ... + тп_г {п_х) +
+ Щ тг /1>2 + т1 m3f13 + ... + m"_2 тп^ fn_% n_lt (D2)
где fi есть функция расстояния т,- от тп, a fUk - функция
расстояния т,-
от тк, так что их производные функции или первые дифференциальные
коэффициенты, взятые по расстояниям, выражают законы взаимного
отталкивания, являясь отрицательными в случае притяжения.
Далее, мы получим две отдельные группы уравнений : для движения всей
системы точек в пространстве и для движения этих точек относительно друг
друга, а именно, во-первых, группу
dx" = x'"dt, с/х;, = О, dy" = y'"dt, dy'" = О, dz" = z'" dt, dz'" = 0,
и, во-вторых, группу
c/f = (x', + E, mx',) dt, dx: = lm Щ dt,
dv-(y>+~Z'my')dt, dy', = -1 ^ <ft,
d'Q = (z: + ~E, mz',) dt, dz', = ~ dt.
Шесть дифференциальных уравнений первого порядка (181), связывающих х",
у", z", х'", у'", z'" и /, содержат закон прямолинейного и равномерного
движения центра тяжести системы, а 6/7 - б уравнений того же порядка
(182), связывающих 6п - 6 переменных С, у, С, х,', у'" z, и время,
являются формами дифференциальных уравнений внутреннего или
относительного движения. Мы могли бы исключить 3/7 - 3 вспомогательных
переменных х',,у',, z', в этих последних уравнениях и получить таким
образом еще одну группу 3п - 3 уравнений второго порядка, включающую
только относительные координаты и время :
С" = 1 т S и (51 + - Z, тп SU W '
Г)" = 1 т (5 U 8г) + - Е, т" SU Srj ' (183)
? = 1 т 6U ас + - Е тп 8U <5? ' .
Для многих целей удобнее оставить уравнения (182), опустив, однако, для
простоты нижние штрихи вспомогательных переменных х',, у',, z',, так как
легко доказать, что эти вспомогательные переменные (180) являются
компонентами центробарической скорости [U9], и поэтому при исследо-
(181)
(182)
вании свойств внутреннего или относительного движения мы можем
предположить, что центр тяжести системы закреплен в пространстве в начале
координат х, у, z. Мы можем также для простоты опустить нижний штрих в
Z,, подразумевая, что суммирование должно распространяться только на
первые п - 1 массы, и обозначая для большей определенности п-ю массу
посредством особого символа М. Тогда можно выразить дифференциальные
уравнения относительного движения следующей упрощенной формулой :
dt дН = Zm (dt dx' - dx' dt + dr) ду' - dy' dr) + dt дz' - dz' dt), (E2)
H = ~Zm (x'2 + y'2 -f z'2) + {(Z mx')2 + (Z my')2 -f (Z
mz')2} - U. (F2)
Интегралы этих уравнений относительного движения содержатся (согласно
нашему общему методу) в формуле
в которой а, /3, у, а', Ь', с' обозначают первоначальные величины I, rj,
t, х', у', z', a S является главной функцией относительного движения
системы, т. е. это рассмотренная ранее функция S, упрощенная посредством
опускания той части, которая исчезает при закреплении центра тяжести.
Функция S дает в общем виде законы движения этого центра или интегралы
уравнений (181).
Второй пример: случай тройной или множественной системы с одной
преобладающей массой; уравнения невозмущенных движений других масс в
отдельных бинарных системах относительно этой преобладающей массы;
дифференциалы всех их элементов, выраженные посредством коэффициентов
одной возмущающей функции.
$2. Предположим теперь, что п - 1 массы малы по сравнению с п-й массой М,
и разделим выражение (F2) длй Н на две следующие части :
из которых последняя мала по сравнению с первой и может быть опущена в
первом приближении. Пренебрегая ею, мы придем к следующим 6п - б
дифференциальным уравнениям первого порядка, относящимся к более простому
движению, которое может быть названо невозмущенным:
в которой
dS = Zm (х'dt - а'да + у' др - Ъ' <5/3 + z' dt - С dy), (G2)
Ях = Щ (l + (x'2 + у'2 + z'2) - MZmf,
H2 = "дТ (Х1 X2 -ГУ1У2 "Г 4 Z' - MU) + . . .
(H2)
Эти уравнения распадаются на п-1 групп, соответствующих п - 1 двойным
системам (т, М). Легко проинтегрировать уравнения каждой группы отдельно.
