Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
имеют ту же форму, как и уравнения (А), и могут быть проинтегрированы
аналогичным способом.
Если мы примем для упрощения
(Г,*..)=/{г (г + + н,} Л (X*)
О
и символы (/1, ю, А) и т. д. интерпретируем подобным же образом, то
сможем легко определить вариации следующих восьми комбинаций:
(т, к, v), (ju, со, К), (fi, к, v), (т, со, X),
(т,co,v), (ju, к,Х), (т,к,Х), (p,co,v),
282
У. ГАМИЛЬТОН
а именно:
(Y2)
д (т, к, v) == 21 • т (г д/и - т0 д/и0 -\-кдсо - к0да>0 + vdX - v06X0) -
Hzdt, д (/и,со, Я) = 21 " т (/и0дт0 - /и0дт -{-ю0дк0 - а)дк -\-A0dv0 -
A.dv) - H2dt, д(/и,к, v) = 2j • m (i"o дт0- /идт-\-кдсо - к0дсо0-\-гдЯ -
г0дЯ0) - H2dt, д(т, со,Я) = 2! • т(тд/и - т0д/и0-\-со0дк0 - содк Я0дг -
Яду) - H2dt, д (т, со, v) - 21 ' m (т V - то д/и0-{- со0дк0 - содк -j-vSZ
- v0<5A0) - H2dt, д(/и, к, Я) = 21 ' /H(/"o^To~/u^r + ^^w~^o^wo + ^o^vo-
Яду) - H2dt, д(т, к, Я) = 21 • т(тд/и - т0д/и0-{-кдсо - к0дсо0-{-Я0дг0 -
Ядг) - Н2д1, д(/и,со,Я) = 21 • m (Ио ^то - И + то &к0- -{-гдД - ''о^о) -
H2dt,
где /с0, Д0, jM0, г0, т0, ш0 являются начальными значениями элементов к,
Я, /и, v, т, со. Если затем мы рассмотрим, например, первую из этих
восьми комбинаций как функцию всех Зл - 3 элементов /uh coh Я( и их
начальных значений /uQji, co0th Д0", включающих вообще в явном виде также
и время, то получим следующие выражения для 6л - 6 строгих интегралов 6л
- 6 уравнений (S2):
т'т- = 'йд- (т>к--v) ; mi то. i = - (т> к>v);
mtkr
dot
(т, /с, v) у Hif Icq i
Sco,
0,1
: (T> kyv);}
m V( (t, k, v) у ГП( Vq i _ (t, ky v).
0,1
(Z2)
Подобным способом мы можем вывести формы тех же строгих интегралов из
какой-либо одной из восьми комбинаций (Y2). Определение всех переменных
элементов было бы поэтому вполне завершено, если бы мы могли найти полные
выражения для какой-либо одной из этих восьми комбинаций.
40. Первое приближенное выражение для какой-либо одной из них может
быть найдено в виде, какой мы предположительно приняли для Н2, а именно в
виде функции элементов и времени, которая может быть обозначена таким
образом:
Н2 - Н2 (/, к^, Ях, [1^, Vi, ть cov..., kn-i, j, fin-x > vn-i, Tn-i f
a)n-i)' (A3)
В этой функции переменные элементы заменены их первоначальными значениями
и использованы следующие приближенные интегралы уравне-
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
283
Если мы обозначим, например, первую из восьми комбинаций (Y2) через G,
так что
G = (т, к, v), (С3)
то получим в качестве первого приближенного значения
а1 = \ {2 (т. ^ + *. ?:) - Цг\ л. (D.)
Выразив таким образом Gx как функцию времени и первоначальных элементов,
мы можем исключить начальные значения т0, к0, v0 и ввести вместо них
конечные значения ц, со, Я так, чтобы получить выражение для ??х в виде,
показанном в (Z2), а именно как функцию времени t переменных элементов
fi, со, Я и их начальных значений fi0, со0, Я0. Приближенное выражение,
найденное таким образом, может быть уточнено тем путем, какой часто
применялся в этом очерке для других подобных целей. Функция G или
комбинация (т, к, v) должна строго удовлетворять согласно (Y2), (А3)
следующему дифференциальному уравнению в частных производных:
г, <50 с 1 80 . 1 6G 1 6G 1 <3 G Л
0- dt + 2 ['щ дсо1 ' 1г f*1' <5^ ' т1 <5Л ' 0,1 ' т2 дсо2 '' ' -'"n-
ij- (Е )
Каждая из других аналогичных функций или комбинаций (Y2) должна
удовлетворять аналогичному уравнению. Если мы затем заменим G на Gx + G2
и пренебрежем квадратами и произведениями коэффициентов малой поправки
G2, причем Gx является уже найденным первым приближением, то придем (во
втором приближении согласно уже рассмотренным принципам) к следующему
выражению этой поправки:
о.-/ (f+".(<¦ i Ц •Л. •*. • к ж - i •"¦•'••)! • <р>
которая может непрерывно и неограниченно становиться точнее путем
повторения того же процесса введения поправки. Таким образом,
теоретически мы можем считать проблему решенной. Однако она остается для
будущего обсуждения и, возможно, для действительного испытания, чтобы
определить, какие из различных процессов последовательного и
неограниченного приближения, выведенные в настоящем очерке, а также в
предыдущем, как результаты одного общего метода и как следствия
центральной идеи лучше всего применимы для численного приложения и для
математического исследования явлений [125].
У. ГАМИЛЬТОН
О ПРИЛОЖЕНИИ К ДИНАМИКЕ ОБЩЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО" МЕТОДА, РАНЕЕ
ПРИЛОЖЕННОГО К ОПТИКЕ [т]
Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления-с частными
производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь
алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому
что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе
чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих
взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или
центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде
этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл
