Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна,
дает по определении ее частных производных все первые и все конечные
интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон
придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений
материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в
зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек.
И он думает, что те,, кто не одобряет его мнения во всей его общности,
могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких
систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики
к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики
"определить 3л прямоугольных координат или других характеристик положения
свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции
времени", включающих, следовательно, бл начальных постоянных, которые
зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, л других
констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии
притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти л
масс через т1у т2,..., тп и их Зл прямоугольных координат - через х1у yv
zly ..., xn,yn,zn и, следовательно, Зл компонентов ускорения или вторых
производных этих координат по времени - через х1У У1у zv ...
• • •> хпу %, zn, он принимает лагранжеву постановку этой проблемы,
именно формулу следующего вида :
2 т (х дх + у ду -f z dz) = 8U, (1)
в которой U есть сумма произведений взятых попарно и перемноженных между
собой масс на некоторую функцию их взаимного расстояния, так что первая
производная этой функции выражает закон их взаимного притяжения, являясь
отрицательной в случае отталкивания. Таким образом, для солнечной системы
каждое произведение двух масс умножается на обратное значение их
расстояния, и результаты должны быть сложены для того, чтобы образовать
функцию V.
О ПРИЛОЖЕНИИ к ДИНАМИКЕ ОБЩЕГО МЕТОДА
285
Мистер Гамильтон умножает далее эту формулу Лагранжа на элемент времени
dt и интегрирует от О до i, полагая, что время и его элемент не подлежат
варьированию. Он обозначает начальные значения (или значения для времени
t = 0) координат х, у, г и их первых производных х, у, z через а,Ь, с и
а, Ь, с и, таким образом, получает из формулы Лагранжа (1) другую важную
формулу:
2 т (к дх - ада + уду - ЬбЬ + zdz - с дс) = dS. (2)
-S есть определенный интеграл [127]
t
S = §{u + 2(tm)№ + V2 + zildt. (3)
Если известные уравнения движения в форме
_ •• 3и .. ди ¦¦ 3и ,,ч
' Х' ~ 3х, ' т' У' ~ Эу7 ' т' Zi ~ 0г7 ^ ^
полностью интегрируемы, то они дадут Зп координат х, у, z и,
следовательно, S как функцию времени t, масс т,..., тп и 6н начальных
констант а, Ь, с, a, i), с, так что по исключении Зп начальных
компонентов скорости а, Ь, с мы в общем получим отношение между 1п + 2
величинами S, t, т, х, у, z, а, Ь, с, которые дадут S как функцию
времени, масс и конечных и начальных координат. Мы еще не знаем формы
этой последней функции, но мы знаем ее вариацию (2), взятую в отношении
бп координат; вследствие независимости этих бп вариаций мы можем
разделить выражение (2) на две группы, содержащие каждая Зп уравнений, а
именно:
3S • 3S • 3S ¦
Эх,- - т' Xi' ~ У' ' ~dZi~~ т*Z( ( )
и
э S • 3 S i 3S •
9- = ща1, a^ = ^ = miCi. (6)
Члены, стоящие в этих равенствах слева, суть частные производные функции
S, ^которую мистер Гамильтон назвал главной функцией движения
притягивающихся или отталкивающихся систем. Он думает, что если
математики изучат эту главную функцию S и эти группы уравнений (5) и (6),
они должны будут оценить их значение. Из группы (5) определяют Зп
промежуточных интегралов известных уравнений движения (4) в форме Зп
отношений между временем t, массами т, варьированными координатами х, у,
z, варьированными составляющими скорости к, у, г и Зп начальными
константами а, Ь, с, в то время как группа (6) определяет Зп конечных
интегралов тех же известных дифференциальных уравнений, как.Зн отношений
с бп начальными и произвольными константами а, Ь, с, а, Ь, с между
временем, массами и Зп варьированными координатами. Эти Зп промежуточных
и Зп конечных интегралов разрешают проблему динамики. Математики же
находят семь промежуточных и ни одного конечного интеграла.
Решение профессором Гамильтоном этой замечательной проблемы содержит,
действительно, одну неизвестную функцию, именно - главную функцию S, к
изучению и отысканию которой сводится математическая динамика. Эта
функция не может быть смешана с прекрасно известной функцией Лагранжа*)
для простого и удобного выражения известных уравнений движения. Функция
Лагранжа ставит, функция Гамильтона решает проблему. Одна годится для
того, чтобы образовать дифференциальные уравнения
*) Здесь имеется в виду уравнение (1).
286
У. ГАМИЛЬТОН
движения, другая может давать их интегралы. Разрабатывая продолжение
этого нового пути и открывая форму этой новой функции, мистер Гамильтон
