Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 122

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 461 >> Следующая

vt
t3
2 p2/ - y-pctgpf,
ft^= -1 + tg 2
11
P
1 . 1 , pi
¦" " 2/P 1 2 '
(167)
Таким образом, форма функции С полностью известна, и мы имеем
268
У. ГАМИЛЬТОН
следующее строгое выражение для этой функции элементов:
С=-
+ & -А,)2
2vtgvt \2
- у {(я1 ~Pi)2 + (h - Р2)2 + {h - Рз)2} ~
- t{p1 {К - Pl) + p2(h - Pa) + Рз(Я3 - Рз)} -
- " {Pl (К - Pi) + Рг {К - Рг)} tg у- + у Рз (Яз - Рз) tg -у- --l(P? + P!
+ pl) + y(P! + p!)tgf- + yPltg^ +
+ (y-^- + yCtg^)g(A3-p3)+ (~ + ^tg-J)gp3 +
+ - Т ~ 17 ctg "*) g2 > (1б8>
которое может быть преобразовано разными способами и при помощи нашего
общего метода Дает следующие системы строгих интегралов дифференциальных
уравнений переменных элементов (150) и (151):
дС А,
"1 =
е* = -
дС
<5Рх
дС
дРг _д С_ дРз
Р1 _ Pi JlL
fi sin fit fi 2 '
Я2 P2 P2 а(tm) _д(_
fi sin fit fi 2 '
Рз
v sin vf
(169)
т. e.
ko =
*1 = -Щ- = ~ {h - Pi) (* + ~ ctg /it) + Pi (-* + j tg -f-) ,
*2 = -Ц7 = "(Я2 - Рз) (* + 77 ctg/*#) + p2 (-t + jtg-f) ,
^ = - (Я3 - p3) (* + ~ ctg vt) + p3 (-1 + у tg -?) +
+ g(y--^- + 4ctg "*) ,
Aj = px cos pt - е1м sin Mt,
Я2 = p2 cos /it - e2/i sin Mt,
Я3 = Рз cos vt - es v sin vt + g {f -^ sin vt)
&i = Cj (cos /it + Mt sin /it) + рг sin /it - t cos /if) ,
?2 = e% (cos pt + Mt sin /it) + p2 ^ sin /it - t cos /if) ,
ks = es (cos vt + vt sin vt) + p3 ^ sin vt - t cos vt) -
/ vers vt t ¦ . .
- ^---------smvt + yj.
(170)
(171)
(172)
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
269
Соответственно эти строгие выражения шести переменных элементов в данной
динамической проблеме согласуются с результатами, полученными из шести
обыкновенных дифференциальных уравнений (150) и (151) при помощи обычных
методов интегрирования и с теми, которые получены путем исключения из
уравнений (113), (114), (147).
Замечания по поводу предыдущего примера
30. Пример, которым мы занимались в последних шести параграфах, не
является совершенно идеальным, но находит некоторое осуществление в
движении метательного снаряда в пустом пространстве. Если мы будем
рассматривать землю как шар с радиусом R и предположим, что ускоряющая
сила тяжести меняется обратно пропорционально квадрату расстояния г
от ее центра и равна gHa поверхности, то эта сила вообще будет--, и,
чтобы применить дифференциальные уравнения (78) к движению метательного
снаряда в пустом пространстве, достаточно взять
U = (173)
Если мы поместим начало прямоугольных координат у земной поверхности и
предположим, что полуось +z направлена вертикально вверх, то получим
г - V(R + zf + х~ у- (174)
U = - gz + , (175)
пренебрегая только теми, очень малыми членами, которые имеют в качестве
знаменателя квадрат земного радиуса. Таким образом, если мы пренебрежем
подобными членами, то силовая функция U в данном случае будет иметь форму
(110), на чем основаны все рассуждения, приведенные в примере, причем
малые постоянные соответственно представляют собой действительные и
мнимые величины
-. Поэтому мы можем применить результаты,
полученные в последних параграфах, к движениям метательных снарядов в
пустом пространстве подстановкой этих значений вместо постоянных, а также
заменяя там, где это необходимо, тригонометрические функции
экспоненциальными. Однако, помимо теоретической легкости и малого
практического значения исследований, относящихся к таким метательным
снарядам, эти результаты будут точны лишь до первой отрицательной степени
(включительно) земного радиуса, потому что выражение (110) для силовой
функции точно лишь в такой же степени ; поэтому строгие и приближенные
исследования, основанные на этом выражении и изложенные в шести
предыдущих параграфах, предлагаются лишь как математические иллюстрации
общего метода, распространяющегося на все проблемы динамики или, по
крайней мере, на все те проблемы, к которым применим закон живых сил.
270
У. ГАМИЛЬТОН
Возобновление рассмотрения систем притягивающихся точек; дифференциальные
уравнения внутреннего или относительного движения; интегрирование с
помощью главной функции
31. Возвращаясь теперь от движения единственной точки к более важному
исследованию системы притягивающихся или отталкивающихся точек, получим
дифференциальные уравнения (А), которые могут быть представлены следующим
образом:
dt Ш = v щ m-doj dt?), (А2)
а для того, чтобы отделить абсолютное движение всей системы в
пространстве от движения ее точек относительно друг друга, примем
следующие отметки положения :
х v = z П761
" У m ' У" Ут ' " Ущ /D'
И
Si = xl-Xn, щ - уi - у,,, ci = zi-zn. (177)
Это три прямоугольные координаты центра тяжести системы, отнесенные к
началу координат, закрепленному в пространстве, и Зп - 3 прямоугольные
координаты п - 1 масс т1; п/2, ..., тп-1; отнесенные к п-й массе тп, как
к внутреннему или движущемуся началу координат, но с осями, параллельными
первым [118].
Затем мы найдем, как и в предшествующей статье*),
Т =~{х? + У? + г?) Xm + 2> т (Г2 + п'2 + С'2) -
{(I, т Г)2 + т пТ + (2, т С')2}, (178)
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed