Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
-Я, = - 4- {(*1 + Pi О2 + (е. + Ръ О2} - 4 (ез + р"1 - т"f2f (135)
и отсюда путем интегрирования [П6] находим
Sг= - у {P2(ei + е1) + Лз} t - у {^(е, рг - е2р2) + г2 e3p3}t2 -- у {,"2
(Pi + Pi) + v* (Pl - ge")} t3 + у т2 gp31* - -jq т2 g21->,
(136)
или при помощи формул (133) -
= - пу-О?2 + eiVi + 4 + nl + Vi + 4) - 44^ + езП3 + 4 +
+ \g(*lS + ez)t* + ±g4j. (137)
Здесь ошибка будет четвертого порядка по отношению к малым величинам fi
nv. Если мы пренебрежем этой малой ошибкой, то можем с помощью нашего
общего метода вывести приближенные формы для интегралов воз-
262
У. ГАМИЛЬТОН
мущенного движения из корректированной функции -f- S2 в виде.:
(^1 + Т в1) '
Пг~ ег
- _ I ^S2 щ ех
1 дщ дщ t
SSX . д S2
"2 = + ~Г^
дщ дщ
т = 4- SS*
3 <5%
1
gt --Х^а + Т^тИ
(138)
Pi =
Р2 = Р*=--
dSx
dSx
де2
as,
&S2
as,
J/1 - e
г
Пг -
ss,
de.
t
Vs -
L + "V" (Cl + T^1) ' V' h + "f '
+ У% + ?^2) '
(139)
или при том же порядке приближения :
4i = ei + Pit - y/^2(ei +у Pi f) , Ч" = ег + p2t - \fi2t2[e2 + ~p2t^ ,
%
l
е3 + Рз*-у g*2 - у*2 f2(e8 + yft*
(r)i = Pi- P2t (ei+ уРг*) , a>z = pz - /i*t [e2 + у p2 f) ,
ft>3 = Рз -• g* - v*t (e8 + у Pat
1
12
(140)
И-)
(141)
В соответствии с этим, если мы развернем строгие интегралы возмущенного
движения (113) и (114) вплоть до квадратов малых величин /лиг
включительно, то придем к этим приближенным интегралам; если же мы
развернем выражение (120) главной функции такого движения с той же
степенью точности, то получим сумму двух выражений (130) и (137).
27. Для того чтобы еще дальше проиллюстрировать на данном примере наш
общий метод последовательного приближения, пусть Ss обозначает небольшую
неизвестную поправку приближенного выражения (137), так что теперь мы
будем иметь для данного возмущенного движения строго
S - Si + S2 + S3,
(142)
где Si и S2 определяются по формулам (130) и (137). Подставляя Sx + S2
вместо Si в общее преобразование (87), мы находим для данной задачи
[116]:
+ |т{(?Г+ (?)¦ + (?)¦}-. <¦">
о
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
263
и если мы пренебрежем только членами восьмой и более высоких степеней по
отношению к малым величинам р и v, то можно ограничиться первым из этих
двух определенных интегралов и воспользоваться для его вычисления
приближенными выражениями (140) для координат возмущенного движения.
Таким образом, мы получим весьма хорошее приближенное выражение
/<*
18
v*_
18
0
f
J t2 [rh + \ e3 + f dt
0
"W (4 ^ - lrh ei + 4ef + 4r\l + 7щ e2 + 4<?f)
vlt3
- + 7% ea + 4e%)
t14* ( 2 ,
- wH +
[vl + % ч + 4)
40 320
31 Vi ei + el + vl + тй" Vz 4 + 4 -
j>6 ^5
945
16
/" I .4 31v"g"f
40 320 { h ^ 3> 725 760
(144)
которое представляет собой сумму членов четвертой и шестой степени в
.развернутом выражении (120) и при помощи нашего общего метода дает
соответственно приближенные выражения для интегралов возмущенного
движения в виде
(145)
а>1 = 8Sy_ fyi 8 S2 <hh + 8S3 foil
ю 2 = SSi <5^2 i as" <5% + ds, <4
ю3 = <5S1 <5% foh + 6S, fols
Pi=~ dSt 8S, #sa
~foi *i foi
dSx 8e t <5 S2 8ег - -
Pz= ~ 8S1 _ 8St $S3
8e3 8e3 8e3
(146)
28. Для того чтобы проиллюстрировать на том же примере теорию
постепенно меняющихся элементов, примем следующие определения для данного
возмущенного движения :
кг - rj1 а>11, /с2 - р2 - ft>2 t I к3 - р3
co3t
А1 = ,
А3 - ш3 -f- gt,
(147)
и назовем эти шесть величин к1г к2, к3, Л1г Я2, Я3 переменными элементами
движения по аналогии с шестью постоянными величинами е1г е2, е3, рг, р2,
р3, которые могут быть для невозмущенного движения представлены аналогия-
264
У. ГАМИЛЬТОН
ным путем, а именно, по формулам (127) и (128):
Ч = Vi - o>i t, ей = % - сб2 f, е3 =rj3~m3t - у gtf2, | pl=a>i,
Р2=а>2, Рз = (r)з + g *. j
Тогда мы получим для шести возмущенных переменных щ, щ, %, а>1; а>2, т3
точные выражения той же формы, что и в интегралах (127) и (128)
невозмущенного движения, но с переменными элементами вместо постоянных, а
именно:
Строгое определение шести переменных элементов къ к2, к3, Xlt /2, /3 в
качестве функций времени и их собственных начальных значений ev е2, е3,
pv р2, р3 будет зависеть от интегрирования шести следующих уравнений в
обычных дифференциалах первого порядка, имеющих форму (105):
Я" = ^ t)2} + 4 (*з + V - 4^2)2 , (152)
которое получается из формулы (125) путем подстановки вместо возмущенных
координат р2, щ3 их значений (149) в. качестве функций переменных
элементов и времени. Эту систему уравнений (150) и (151) нетрудно строго
пооинтегрировать, и нам вскоре представится случай вывести их полные и
точные интегралы. Однако мы в течение некоторого времени будем обращаться
с этими точными интегралами как с неизвестными, с тем чтобы иметь
возможность показать на примере-наш общий метод неопределенного
приближения для всех таких динамических вопросов, основанных на свойствах
функций элементов С и Е. Можно воспользоваться любой из этих функций, и
мы воспользуемся здесь функцией С.
