Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
по пути, по которому он должен идти для того, чтобы наиболее быстро
пройти от исходной точки до той, которую он должен достичь.
С помощью изложенного принципа Ферма и решил проблему; согласно этому,
такому правдоподобному принципу, свет, который при своем распространении
и отражении всегда идет наиболее короткое возможное время, следует еще
тому же закону при своем преломлении ; и Ферма без колебаний считал, что
в более разреженных средах свет движется более легко и более быстро, чем
в средах, где в том же самом пространстве он находит
26
П. МОПЕРТЮИ
большее количество материи. В самом деле, можно ли было с первого взгляда
подумать, что свет более легко и более быстро пересекает хрусталь и воду,
чем воздух и пустоту?
Однако это имеет место. Декарт первый высказал мнение, что свет в более
плотных средах движется более быстро; и хотя объяснение преломления,
которое он отсюда вывел, было недостаточным, его недостаточность не
вытекала из сделанного допущения. Все системы, дающие некоторое
правдоподобное объяснение явлениям преломления, допускают парадокс или
утверждают его. Лейбниц хотел согласовать мнение Декарта с конечными
причинами, но это были только предположения, не выдерживающие критики и
совсем не согласующиеся с другими явлениями Природы*).
Предположение, что свет движется более быстро в более плотных средах,
разрушило все здание, построенное Ферма : свет при пересечении различных
сред не идет ни более коротким путем, ни путем более короткого времени;
луч, переходящий из воздуха в воду, совершая наибольшую часть пути в
воздухе, приходит позднее, чем если бы он совершил там наименьшую часть
пути. В Мемуаре де-Мерана [de Mayran ] об отражении и преломлении можно
прочесть историю спора между Ферма и Декартом, а также увидеть
затруднение и бессилие, в которых находились до сих пор, пытаясь
согласовать закон преломления с метафизическим принципом.
Глубоко продумав рассматриваемый вопрос, я полагаю, что свет при переходе
из одной среды в другую, уже оставив наиболее короткую дорогу, являющуюся
прямой линией, может также не следовать по пути наибыстрейшего времени. В
самом деле, какое предпочтение должно здесь иметь время перед
протяженностью? Если свет не может идти сразу и по наиболее короткому
пути и по пути кратчайшего времени, то почему он идет скорее по одному из
путей, чем по другому? Он не следует ни по какому из них; он выбирает
путь, имеющий более реальное преимущество : путь, которого он
придерживается, является путем, для которого количество действия будет
наименьшим.
Нужно теперь объяснить, что я понимаю под количеством действия. При
перемещении тела из одной точки в другую необходимо некоторое действие :
это действие зависит от скорости, имеющейся у тела, и от пространства,
пробегаемого последним, но оно не является ни скоростью, ни
пространством, взятыми в отдельности. Количество действия тем больше, чем
больше скорость тела и чем длиннее путь, пробегаемый телом ; оно
пропорционально сумме произведений отрезков на скорость, с которой тело
проходит каждый из них**).
Именно это количество действия является истинной тратой Природы; и именно
оно выгадывается как можно более при движении света.
Пусть две различные среды, разделенные поверхностью, представленной
линией CD, таковы, что скорость света в среде, которая находится сверху,
равна т, а в среде, которая находится снизу, равна п. Пусть луч света,
выходящий из заданной точки А, должен достичь заданной точки В ; чтобы
найти точку R, в которой он должен преломиться, я отыскиваю точку, в
которой при преломлении луча количество действия является наименьшим; и я
нахожу, что mAR + nRB должно быть минимумом.
Или, восстанавливая к общей поверхности двух сред перпендикуляры AC, BD,
получим
rn У АС* + CR2 + п Уво2 4- DR2 = min.
*) См. замечание Эйлера в конце нашего Мемуара.
**) Так как здесь имеется только единственное тело, то от его массы мы
отвлекаемся.
СОГЛАСОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ
27
Или, так как АС и BD постоянны, получим
т CR dCR _j_ п DR dDR q
У AC2 + CW У BD2 + DR2
Ho CD постоянно, поэтому dCR = - dDR. Следовательно, имеем
mCR nDR _ CR ' DR _
И ~AR ' ~BR n - m>
т. e. синус падения с синусом преломления составляют отношение, обратное
отношению скоростей света в каждой среде.
Все явления преломления согласуются теперь с важным принципом, по
которому Природа при осуществлении своих действий идет всегда наиболее
простыми путями. Из этого принципа следует, что когда свет переходит из
одной среды в другую, синус его угла преломления с синусом его
угла падения находятся в отношении, обратном отношению скоростей, которые
свет имел в каждой среде. Но эта основа, это количество действия, которое
Природа сберегает при движении света через различные среды, сохраняется
ли оно также тогда, когда свет отражается непрозрачными телами, и в
простом его движении? Да, эта величина всегда является наименьшей,
насколько только это возможно.
