Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
брошенных тел, когда скорость тела не определяется одним только местом
его пребывания; это бывает, либо если центры, к которым стремится тело,
будут подвижны, либо если движение происходит в сопротивляющейся среде.
Установив это разделение, нужно сказать, что всякий раз, когда движение
тела будет принадлежать к первому роду, т. е. тело будут увлекать не
только к одному, но и к любому числу неподвижных центров какие-нибудь
силы, в этом движении сумма всех элементарных движений будет наименьшей.
14. Того же самого требует и сущность задания: ведь если между данными
пределами разыскивается та кривая, для которой jds fv составлял бы
минимум, то тем самым предполагается, что в каждом из обоих пределов
скорость тела одна и та же, какая бы кривая ни являлась путем тела.
Сколько бы ни было неподвижных центров сил, скорость тела в любой точке М
(рис. 2) выражается определенной функцией обеих переменных СР = х и РМ =
у.
Итак, пусть v - некоторая функция от х и у, так что
dv=Tdx + V dy;
посмотрим, покажет ли наш принцип действительную траекторию тела. Так как
dv - Tdx -f Vdy, то тело будет двигаться так же, как если бы на него
действовали в М две силы, одна Т, в направлении параллельном абсциссам х,
другая V, в направлении параллельном ординатам у; отсюда получается
тангенциальная сила, равная
Tdx+ V dy ds '
и нормальная сила, равная
- Vdx+Tdy ds
В силу же природы свободного движения должно быть
2 у _ -Vdx+ Тdy _ V + Тр_ _ г - ds ~ '
если метод максимумов и минимумов приведет к этому уравнению, то наш
принцип непременно будет сообразен с истиной.
15. Так как согласно этому принципу должен быть минимумом
J dx У г? (1 +р2) , то продифференцируем величину
40
Л. ЭЙЛЕР
и так как dv = Tdx -j- Vdy, получим
Tdx/l + p2 KdyVl + p3 pdpYv
2 УгГ 2 У" УГ+р(r)'
откуда по данным нами правилам получается для искомой кривой следующее
уравнение:
V dx У1 + р2 _ ^ р У у _ dp У у _j_ р(Т dx-\- V dy)
2}'v yi + p2 (l+p2)3'2 2У"(1 + p2)
ИЛИ
ДрУг> Tpdx-Vdx
(l + p2)3:2 2 yyyi + P2)
Но радиус соприкасающегося круга в точке М равен
-(1 ч- р2)rfxУ1 + р2 . dp
если положить его равным г, то будем иметь
2_г> __ Тр - V
г ~ УГ+7Г '
совершенно то же, что находим посредством прямого метода.
Итак, если только действующие силы таковы, что их можно свести к двум
силам Т и V, действующим по направлениям, параллельным координатам х и у,
и пропорциональным каким-нибудь функциям этих переменных х и у, то для
описываемой кривой движение тела, собранное по всем элементам, всегда
будет наименьшим.
16. Итак, этот принцип имеет столь широкое значение, что подлежащим
изъятию представляется только движение, возмущаемое сопротивлением среды;
причем легко видеть причину этого изъятия, потому что в этом случае тело,
приходя к одному и тому же месту различными путями, приобретает не одну и
ту же скорость. Таким образом, если устранить всякое сопротивление
движению брошенных тел, то всегда будет иметь место то постоянное
свойство, что сумма всех элементарных движений будет наименьшей. И это
свойство будет наблюдаться не только в движении одного тела, но и в
движении нескольких тел, рассматриваемых вместе; как бы они ни
действовали одно на другое, всегда сумма всех движений остается
наименьшей. Так как такого рода движения трудно поддаются расчету, то
здесь это легче понять из основных принципов, чем из согласия вычислений,
произведенных по обоим методам. Действительно, так как тела в силу
инерции сопротивляются всякому изменению состояния, то они, если только
будут свободны, будут насколько возможно меньше подчиняться действующим
силам ; отсюда вытекает, что в порожденном движении эффект, произведенный
силами, должен быть меньшим, чем если бы тело или тела двигались каким-
либо иным способом. Хотя сила этого рассуждения еще недостаточно видна,
все же, так как оно согласно с истиной, я не сомневаюсь, что при помощи
принципов здравой метафизики оно может быть возведено к большей
очевидности ; но это я представляю другим, тем, кто занимается
метафизикой.
П. МОПЕРТЮИ
ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И ПОКОЯ, ВЫВЕДЕННЫЕ ИЗ МЕТАФИЗИЧЕСКОГО ПРИНЦИПА [13]
Принцип, на котором основан нижеследующий Труд, я сформулировал 15 апреля
1744 г. в публичном Собрании Парижской Королевской Академии наук, о чем
свидетельствуют Акты этой Академии.
К концу того же года Профессор Эйлер представил свою превосходную книгу:
Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gau-dentes.
В Дополнении, присоединенном к ней, этот знаменитый Геометр доказывает,
что в траекториях, которые описывают тела под действием центральных сил,
скорость, умноженная на элемент кривой, всегда образует minimum.
Эпго замечание мне тем более приятно, что оно является прекрасным
применением моего принципа к движению Планет; здесь этот принцип
действительно является правилом.
Теперь я попытаюсь извлечь из того же источника истины высшего рода и
более важные.
I. ИЗУЧЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ СУЩЕСТВОВАНИЯ БОГА, ИЗВЛЕЧЕННЫХ ИЗ ЧУДЕС
