Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
= ds ; следовательно, в соответствии с природой действующей силы,
dv = gdx и v = а + gx.
Значит, кривая будет такова, что для нее будет минимумом
J ds Va + gx .
Положим
dy = р dx,
так что будет
ds = dx У1 + р2
и минимумом должен быть
§dxY(a + gx)( 1 + р2) , а это выражение при сравнении с общей формой J Z
dx дает
z = Y(d + gi)(r+p*) ;
поэтому, так как было положено
dZ = Mdx + Mdy + Pdp,
получим
pY'a+'gx
N=О и Р=
! 1 • д '
Так как дифференциальное значение равно
N -
dx
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДВИЖЕНИЯ БРОШЕННЫХ ТЕЛ
33
то в настоящем случае, вследствие
N = 0,
окажется
dP = 0
и
Р = ][С.
Будем иметь, следовательно,
= р^а + gx = rfy Кд + gx
' Т/Т-7---7
dy Уa + gx ds
и
dx/c
fa-C + gx
будучи проинтегрировано, это уравнение, дает
У = j Ща-С + &).
5. Очевидно, что это уравнение параболы. Но полезно будет внимательно
рассмотреть его согласие с истиной. Прежде всего ясно, что там, где
а~С+ gx = О,
касательная к кривой горизонтальна или
А так как начало абсцисс А зависит от нашего усмотрения, то возьмем его в
этом самом месте, и получится
затем пусть сама ось проходит через эту высшую точку кривой, так что при
х - О окажется и у = 0. При соблюдении этих условий уравнение кривой
будет таково :
оно не только, как это очевидно, принадлежит параболе, но, так как
скорость в точке А есть у а", то высота С А, падая с которой под
воздействием той же самой силы g, тело приобретает такую же скорость, с
какой оно движется в точке А, будет равна ajg ; т. е. она равняется
четвертой части параметра, совершенно так, как это выводится прямым
методом из учения о движении брошенных тел.
6. Пусть сила, действующая на тело, будет, как и раньше, повсюду
направлена вертикально вниз, но сама не будет постоянной, а будет как-
нибудь зависеть от высоты СР. Значит, если положить абсциссу СР - х, то
сила, с которой тело в точке М стремится вниз, будет равна X, некоторой
функции от х. Если теперь принять за ординату РМ = у, элемент дуги Мт =
ds и dy = р dx, то будет
dx = 0.
и
dv = X dx v - А -(- J X dx,
*3 n_____________________
34
Л. ЭЙЛЕР
откуда минимумом должно быть выражение
J dx f(A + j X dx){\ f из которого получим для описываемой кривой такое
уравнение
Ус
р У А + 5 X dx
УГ
или
Ус
У А - С +J~Xdx
dx Ус" -С
dy_
dx
Y А- С + \Xdx
Следовательно, касательная к кривой будет горизонтальна там, где
J Xdx = C - А.
Это же самое уравнение траектории тела находится и прямым методом.
7. Пусть теперь на тело действуют в М (рис. 2) две силы, одна
горизонтальная, равная Y, по направлению МР, другая вертикальная, равная
X, по направлению MQ. Пусть при этом X - некоторая функция вертикального
отрезка MQ = СР = х, a Y - некоторая функция ординаты РМ = у. Положив,
как раньше, dy = р dx, будем иметь
dv = - X dx - Y dy,
и получим
v = А - JXdx - dy; отсюда, минимумом должно быть выражение
fdxV(l+p*)(A-SXdx-fFdy) . Продифференцировав V(l + p*)(A-SXdx-SYdy) ,
получим
- Xdx yi + ps
2Уд-$Хйх- J Ydy Положив здесь
YdyY 1 + p2
2 YA-[Xdx-\Ydy
-YYT+pi
+
кipYA~]Xdx-\Ydy
УГ+Т"
N =
2Ул - [X dx - [Y dy
p - pYA-lXdx-\ Ydy У1 + Р2
будем иметь для искомой кривой уравнение
dP
О = N ¦
dx
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДВИЖЕНИЯ БРОШЕННЫХ ТЕЛ
35
ИЛИ
N dx = dP; отсюда, следовательно, получается
- Y dx У1 + р2 __ dpV А - ) X dx - { Y dy ______________рХ dx -
pY dy
2 У А - S X dx - \Y dy (1 + p2) f\ + p2 2 У(1+р2) (A - J
Xdx - J Ydy)
или
dpY A- \ Xdx -\Y~dy =_______________Xdx - Ydy__________
(l + p^yi+T1 2У(1 + р2)(Д -\Xdx-\ Ydy) '
а поэтому
2 dp X dy - К dx
1 + p2 A-]Xdx - \Ydy'
Что это уравнение согласуется с истиной, станет ясным, если вместо
А - § X dx - §Y dy подставить v, ибо тогда будет
2 vdp X dy - Y dx
(1 + p2)3:2 ~ УГTp2"
Но радиус соприкасающегося круга
(l + p2)3:2dx r ~ dp ' '
введя его, имеем
2v _ Y dx - X dy r ds '
2v "- Y dx - Xdy
где -у- есть центробежная сила тела, а г ds выражает нормальную
силу, составленную из действующих сил, а равенство этих сил непременно
имеет место при всяком движении брошенных тел.
8. Найденное уравнение
2 dp __ X dy - Y dx
1 + p2 A - J Xdx-I Ydy
может быть проинтегрировано в общем виде, если его умножить на
р(А - S Xdx- ) Ydy)
1 + р2
тогда получится
2 pdp (А - \ X dx - \Y dy) р2 X dx Y dy "
(1 - p2)2 " 1 + p2 - U '
что после интегрирования дает
-p2\Xdx + \ Ydy - А
= C ,
1 + P2
или
$Y dy - p2 $ X dx = A + С + Cp\
откуда
p^_ V'B + jYdy УС + YXdx
36
Л. ЭЙЛЕР
если подставить В вместо -- А-С. Так как р = , то будем иметь для
искомой кривой уравнение
dy Г dx
У В + J Ydy J УС+ 5 Xdx
в котором переменные х и у отделены одна от другой. Или, обращая
постоянные В и С в отрицательные, будем иметь
dy Г dx
Ув~=]Тйу J ! С ; X dx
На основании этого легко построить кривую, однако, извлечь алгебраические
уравнения, поскольку они здесь содержатся, не так легко. Пусть X и Y
подобные функции, а именно, степени от х и у ; получим
dy Г dx
Уьп-уп J }ап - хп
а это уравнение, если п = 1, дает параболу, если же п = 2 - эллипс,
