Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
метода. Для иллюстрации всех этих новых общих процессов, и в особенности
тех, которые связаны с проблемами возмущения, эти элементы использованы в
данной работе при рассмотрении простого примера, подсказываемого
движениями метательных снарядов, причем их параболический путь
рассматривается как невозмущенный. В качестве более сложного примера
здесь снова рассматривается по новому способу проблема определения
движений тройной или множественной системы при любых законах притяжения
или отталкивания и с одной преобладающей массой, затрагивавшаяся в
предыдущей работе. Для этого составляются и интегрируются
дифференциальные уравнения новой группы переменных величин, полностью
отличных теоретически (хотя мало отличающихся на практике) от элементов,
применяемых Лагранжем. Новая группа переменных имеет то преимущество, что
дифференциалы всех новых элементов и для возмущенных и для невозмущенных
масс могут быть выражены производными одной возмущающей функции.
Преобразования дифференциальных уравнений движения притягивающейся или
отталкивающейся системы
1. Математикам хорошо известно, что дифференциальные уравнения
движения любой системы свободных точек, притягивающих или отталкивающих
друг друга, в зависимости от какой-либо функции их расстояний, и не
возмущенных какой-либо внешней силой, могут быть выражены следующей
формулой :
2'm (х" дх + у" ду + z" Sz) = <5(7, (1)
236
У. ГАМИЛЬТОН
причем знак суммы 2 распространяется на все точки системы ; т является
для всякой такой точки постоянной, называемой ее массой ; х, у, z
являются ее прямоугольными координатами, х", у", г" представляют собой
ускорения или вторые производные по времени, 8х, ду, 8z - любые
произвольные бесконечно малые вариации этих координат, a U - некоторая
силовая функция, введенная в динамику Лагранжем, включающая массы и
взаимные расстояния нескольких точек системы. Если число этих точек равно
и, то формула (1) может быть разложена на Зп обычных дифференциальных
уравнения второго порядка между координатами и временем
m'х' = ' т' У'= АуГ ' т' z'' =
Интегрирование этих дифференциальных уравнений движения притягивающейся
или отталкивающейся системы, или некоторое преобразование их,
представляет собой главную и возможно единственную проблему
математической динамики.
2. Для того чтобы облегчить и обобщить решение этой проблемы, полезно
предварительно выразить Зп прямоугольных координат х, у, z как функции Зп
других более общих отметок положения %, г\2, . .., щзп ; тогда
дифференциальные уравнения движения принимают следующую, более общую
форму, открытую Лагранжем :
А АЛ _ AIL - АН
dt St]) Srji Srji
где
1
2
(3)
T = f 2'm (x'2 + у'2 + z'2) . (4)
В самом деле, из уравнений (2) или (1) следует уравнение ди v " <5х " 8у
" дг ^
н+у -?+z =
d л.1 ( , Sx , , <5у <5z
_ V m (х> А А-х_ I v' A Al_ , г> A АД (5)
V dt Ь щ ' У dt <5щ dt '
в котором
(*' JJ + y'Ai+г' ж) " - ¦щ Iх' W + у +2' ч) --Щ <"
V
m
?m I1' IA + y' L At+z'iAu)~
=AA+A+AA m
при этом T рассматривается здесь как функция 6п величин rf и rj,
полученных путем введения в ее определение (4) значений
= п'х + it+ ' " + Пзп и т' Л' ^
Иное доказательство этого важного преобразования дано в Mecanique
Analytique.
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
237
3. Поскольку Т является однородной функцией второй степени
относительно rf, она должна удовлетворять условию
2 T = 2Zv
дг)' '
(9)
а поскольку вариация той же функции Т, очевидно, может быть выражена
следующим образом :
'8 т
8т
*?) , (10)
то эта вариация может быть также выражена следующим образом :
"•=. "К
Тогда, если мы для краткости положим
(12)
дт
8tj;
а>
i >
8Т
<5%п
а>"
и будем рассматривать Т (как мы это вправе сделать) как функцию
следующего вида :
Т = F (а>1, <ы2 , . . . , <ы3" , щ1 , щ , . . . , щп) ,
то увидим, что
6F
8F
8a>s" -Чзп
И
(13)
(14)
(15)
8F _ 8Т SF _ дТ
8г)х drjx' ' ' 8цзп дг)зп '
и, следовательно, общее уравнение (3) может быть преобразовано так:
т = (16)
Теперь, если мы для краткости введем следующее выражение Н :
Н = F - U = F , .. ., сд3л , Vl, г]2, . . ., г)3п) - U (г)1у г)2,
. . ., %"), (17)
то подойдем к новому способу представления дифференциальных уравнений
движения системы п точек притягивающих или отталкивающих одна другую [98]
:
dt] 1 8H d<x>x <5 H
dt 8oh ' dt drjx '
4% 8H da>2 SH
dt Sw2 ' dt Hi '
8t]3n 8H да>зп SH
dt 8u>zn ' dt Sl]3n
(А)
С этой точки зрения задача математической динамики для системы п точек
заключается в том, чтобы проинтегрировать систему (А) 6п обычных
дифференциальных уравнений первого порядка, содержащих 6п переменных r)h
a>i и время t, а решение этой задачи должно состоять в определении этих
6п переменных как функций времени и их собственных начальных
238
У. ГАМИЛЬТОН
значений, которые мы можем обозначить как eh pt. Все эти 6п функций или
6п соотношений для определения этих функций могут быть выражены в
совершенно общем и строгом виде методом, предложенным в предыдущей
