Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 105

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 461 >> Следующая

Vt= $(Т-Тг)<и, (К5)
о
хотя, в отличие от (В5), это не есть совершенно строгое выражение
остающейся части функции. При вычислении этого интеграла (К5) для
получения улучшенного приближения Vx мы можем воспользоваться следующими
аналогичными приближениями к точным формулам (D) и (Е):
бух
ёах
8УХ
ёУх
dct
= -Щ а'г, -т1Ь'1,
-хп1 с{,
о ^ II - тп2а2, . . . , ёап = -тппа'п
sv1 дЬ2 ~ -ш2 Ь2, . . . , 6Уг ЗЬп = -ТПп Ь'п
oJ 5? to II ТП2 с2, дУх дсп = -тпс'"
<51/, дн ~ L
(L5)
(М5>
или при любых других отметках начального или конечного положения (вместо
прямоугольных координат) следующими приближенными формами строгих
уравнений (S):
бух
дел
дТ0
de'i
6Vt
Ьех
ST0
8е'г
ёея"
ЯТ0 S&R п
(N5)'
совместно с формулой (М5). При помощи этих новых формул способ движения
системы выражается приближенно и не строго.
Эти замечания легко можно распространить на задачи относительного
движения и показать, что в таких задачах мы имеем строгое преобразование
V.t = j'(T,-T,1 + T,2)d/
О
и приближенное выражение
v,t =\{T,-Tn)dt,
m
(Р5)
причем представляет собой приближенное значение функции V, относительного
движения, V ,2 представляет собой поправку этого значения, а T,v Т,2
являются однородными функциями второй степени, состоящими из частных
производных этих двух частей V,v V,2, точно так же как Т, состоит из
производных полной функции V. Эти общие замечания могут быть с пользой
иллюстрированы конкретным и широким применением.
Применение вышеизложенного метода к случаю тройной или множественной
системы с любыми законами притяжения или отталкивания и с одной
преобладающей массой
20. Значение (68) относительной живой силы 2Т системы сводится
последовательно к следующим частям: 27\(1), 27\(2),..., 2Tin~1\ при
предположении, что все п - 1 первые массы последовательно исчезают, за
исключением одной, а именно, сводится к части
w = -^W + r,? + V),
(132)
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
223
когда только т1 и тп не исчезают, к части
2 г,2) = _щтп_^а + ,8 + ^2) m2 + тп v 2 '2 2 '
когда только т2 и тп не исчезают и т. д., и к части
2Т,п-1) =
_mn-imn ГПп-1 + тп
(%п-1 + Уп-1 ?п-1) I
(133)
(134)
которая остается, если сохраняются только две последние массы. Сумма этих
п - 1 частей в общем не равна полной относительной живой силе 2Т системы
при сохранении всех п масс, но мало отличается от нее в том случае,,
когда первые п - 1 массы малы по сравнению с последней массой тп, так как
точное значение этой разницы посредством (68) и посредством (132), (133)
и (134) будет выражаться так [84] :
2 т, - 2 Г,11
27<2> _
2т,
2JW-и - (Т<1>___т \ _|_
ТПп ° '
+
ТПп
(Т(2) _ Г,) Н- . . . +
2 Шп-1
тп
(Пп-
1).
Т) +
+ ~ m, mk{{?t - ?'к)* + W - n'kf + (С'г - С*)2}. (135)
Эго - выражение второго порядка малости в том случае, когда
рассматриваемые п - 1 массы суть величины первого порядка малости.
Обозначим V)1!, . . ., V?~(1) относительные действия или накопленные
относительные живые силы, какими они были бы в п - 1 бинарных системах
(тртгД (т2тп),..., ("!"_! тп) без возмущений других малых масс всей
множественной системы п точек. При вычислении этих п определенных
интегралов
V'1' = j' 2ТР dt, V,w = } 2 Т?] di, ... , Vf-1' = j 2 ГГ* dt (Q5)
CP 0
пренебрежем этими возмущениями, то получим в качестве приближенного
значения полного относительного действия V, системы сумму V,x ее значений
для этих отдельных бинарных систем:
Vn = VI1' + Vi2>+ ... + vr-
m
Эта сумма согласно нашей теории бинарных систем может быть иначе выражена
следующим образом :
у __ щтп m2 mn w(2)_ _mn-i mn
'1_ m1 + m" "I" m2 + mn ' mnli + льГ
(S5)
если для краткости напишем
щ(1) = }Xm + j- r'(1) dra),
r(2>
w(2) /j(2) §(2) J r'W dr(2) ;
rt17'1)
wm-l)= ftCn-l) #("-!) _|_ J f'(n-l) tfr(n-1) _
r(n 1)
(T5)
224
У. ГАМИЛЬТОН
В этом выражении
r'(i) = ± [^2 (т1 + тп) р + 2g№ - ^ ,
(U")
r(n-l)2 '
r(1), . . ., r(n_1) представляют собой сокращенные выражения для
расстояний, г(1>п), ..., г<"-1'п> и /(1), . .., f'1-1') представляют
собой сокращенные написания для функций /(1>п), ../(п~1-п) этих
расстояний, производные которых в зависимости от того, являются ли они
отрицательными или положительными, выражают законы притяжения или
отталкивания ; мы ввели также 2п - 2 вспомогательные величины /2(1),
g(1), .. ., Л(п-1), g(n"1), которые должны быть исключены или определены
при помощи следующих уравнений условий [851 :
Мы обозначили через .. ., углы, которые конечные расстояния г(1),...,
первых ti - 1 точек от последней или л-й точки системы образуют с
начальными расстояниями, а именно соответственно с г^\ ... ...,
Вариация суммы будет вследствие равенства (S5):
где при помощи уравнений условий мы можем рассматривать все
вспомогательные величины Л(1), g(1), ..., как постоянные, если Н,
считается заданным. Таким образом, та часть этой вариации 61^, которая
зависит от вариаций конечных относительных координат, может быть написана
в следующем виде :
(V5)
и
(X5)
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed