Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
(Мб = Pi + 2'. тк dw(k) 1 "V>* , 1 V dV,2
тк + тп дрк mi dPi ^ mn ' 6Pi
(Мб = v't + тк dw(k) + 1 dvi 'r 1 V dV,2
dvj тк + тп dvW mi mn dvi
(Х")
При этом знак суммы Z" относится только к возмущающим массам тк, за
исключением т, и тп, а эти уравнения (W6), (X6) представляют собой точные
формулы, соответствующие приближенным соотношениям (I6), (К6). Подобным
же образом формула (L6) для времени движения в бинарной системе,
представляющая только приближение, когда система рассматривается как
множественная, может быть исправлена на случай возмущения путем
прибавления к ней аналогичного члена, выведенного из возмущающей части
V,2 полной характеристической функции, т. е. путем замены ее на выражение
t
(Мб dV,t
dgU)
дН,
что дает для w'(i) исправленное и точное выражение
(Мб
<?'>•
t
J>v,2
дН,
(Y6)
(Z6)
При этом предполагается, что здесь V,2 выбрано так, чтобы служить точно
поправкой V,v Если, следовательно, при помощи теории бинарных •систем или
путем исключения g(,) между четырьмя уравнениями (К6), (L6) мы выведем
выражения для трех переменных относительных координат Vi> ?/ как функций
времени t и шести начальных величин ah vit a'h v'n л именно:
= Фг (а,-, /3,-, vt, а], /?;•, y'i, t),
Vi Ф2^Р-1 " Pi > Yi > ai > Pi > Yi > t) >
Zi = фз (ai" Pi > 7;. ai' > P\ ' Yi > t) >
(A7)
то будем знать, что следующие соотношения являются строго и тождественно
истинными [89] :
f i = фх (а;, /3,-, у,- ,
^7г Ф2 |^( 1 Pi > Yi >
?i = Ф3 ("г , Pi, Yi,
(Мб (Мб (Мб Мб
дщ ' dpi ' <5y; ' ^(О
(Мб (Мб Мб (Мб
дщ ' dpi " ду,- ' <? б
(M') (Мб (Мб (Мб
дщ ' dpi ' (5у/ ' (5g<6
(В7)
Следовательно, эти соотношения будут справедливы и тогда, когда мы
подставим вместо четырех производных w(r) их точные значения (X6) и (Zc)
для случая множественной системы. Таким образом, мы можем сохранить для
любой множественной системы конечные интегралы (А7) движения бинарной
системы, если только мы прибавим к начальным компонентам
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
229
а,-, y'i относительной скорости, а ко времени t следующие возмущенные
члены:
Л а' = v" A Р\ = 2'"
Ау\=2>
тк
тк + тп dak
тк divW
тк + тп dPk
тк dw(k)
тк + тп dyk
At =
dn*k) , 1 8V,2 , 1 v <5V%
+ Н------
+
mi дщ 1 SV,,
т" ^ ' дщ
_____________X л- 1 - V *V't
mi dpi ' т" -' dpi
dV•,
| ^ _dV/2_____| 1 \T; 'Jy '2
' mi dyi ' mn "' dyt
dV,2 dH, '
(C7)
(D7)
Таким же образом, так как теория бинарных систем (или исключение g(i) из
четырех уравнений (I6), (L6)) дала три промежуточных интеграла вида
Vl (^i ! Vi > ?i > ai > Pi ; Уi i 0 > j
v't^Vzi^t, Vi, ?i> ai> Vi, 0- | (E7>
? = Vz (f,-, Vi, Ci, ai > P > 7i> t), )
то можно сделать вывод, что уравнения
dwP) ff. 0 dw( 0
:o a ^(O'j
. Vl > Vi i '/ j ai ! Pi , Уi ' fig(i) J >
dw(0 f. г. йшОИ
Srjj ~ (^г ' ' P'' ' dg(>)~J '
dw(')
Vs
> Vi у Г i ai i Pi i Vi > gg(i) J
(F7)
являются тождественными и, следовательно, должны оставаться истинными,
когда при переходе ко множественной системе мы подставляем вместо
производных их точные значения (W6), (Z6). Поэтому три промежуточных
интеграла (Е7) движения бинарной системы могут быть строго приспособлены
к случаю множественной системы, если сначала прибавить к времени t
возмущающий член (D7), а затем прибавить к получившимся значениям
конечных компонентов относительной скорости следующие величины :
M'i
AVi
ас;
= v
тк
тк + т"
тк тк + тп
тк
тк
+ 1 1 4, 8V"
<5|/t mt *i + m" dir
dw(k) + 1 дщ ' 1 v *V.t
dr)k mi m" ' drji
8\у(к) + 1 dv,2 1 V 8V'* W ' Я!-.
(О7)
22. Для того чтобы вывести из этих строгих результатов некоторые
полезные приближенные выражения, мы пренебрежем в возмущениях членами
второго порядка малости по отношению к малым массам системы и по
отношению к постоянной 2Н, относительной живой силы, которая,
230
У. ГАМИЛЬТОН
как легко заметить, будет малой того же порядка, что и массы. Тогда
возмущения координат, выведенные методом, изложенным выше, будут иметь
вид :
(Н7)
В этих выражениях мы можем взамен строгих значений (С7) для Aft, Aft, Ay'
применить следующие приближенные значения :
V П1к тп bw(k) бак + 1 mi 8V,, дщ
тк дЫк) + 1 dV,2
тп дРк mi dpi
V JHL тп dw(k) дук + 1 mt дУ,2 dyi
Для вычисления четырех производных
8V,
дщ
bV,,
дУ,г
byi
ьу,2
6Н
(Г)
которые входят в значения (I7), (D7), мы можем рассматривать V,г при
помощи (R6), (Т6) и на основе теории бинарных систем как функцию
начальных и конечных относительных координат и начальных компонентов
относительных скоростей, включая также явно время tun - 2 вспомогательные
величины вида ftk). Затем мы должны рассматривать эти начальные
компоненты, вспомогательные величины и время как зависящие в свою очередь
от начальных и конечных координат и от Н. Однако, исходя из изложенных
выше принципов, нетрудно доказать, что при таком подходе к t и g(k) их
вариации при данной степени приближения будут [90]
dt
Us* J
-1
6w
dg
+ SH,
" /'З'Чу'Г1
с I b2w<k) "i - 1 ( c,, А SwCb j
(K7)
(L7)