Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
причем знак варьирования 6 относится только к начальным и конечным
координатам, а
<52и>(0 <5|, _ W) <5?i <52w(')_ d$t_ W) dgW2 dt ' дщ dgt0 <5щ dfii
dg(0 dp't dyt dg(')
by'-.
(M7)
и аналогично для соотношений между производными двух других координат щ,
ft. Из зтого следует, что t и g(k) и, следовательно, ft, ftk, у'к могут
рассматриваться как постоянные, когда мы берем вариацию возмущающей части
V,2 для вычисления возмущений (Н7), и что члены, включающие zlf,
уничтожаются
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
231
другими членами. Поэтому мы можем просто написать [91]
Ж = ад da'j A a'j + ад- ад Ар\ + ад dyl ay\,
Arh = dr)i dal Aa'i + ад- ад A Pi + drji ж ay\,
AC, = d?i ад Aa\ + ад dpi AP\ + ад Ж AYi ,
(N7)
применяя для Аа\ следующее новое выражение :
( t
л > X- I Г- и* , да'' Г w, I
1 " I Sat + <54 J <54 +
6 о
dpi f dRm dyl Г dRm
dpi г dyi r dRm I
+ +"ад\Г ад at\ (U'
0 "
совместно с аналогичными выражениями для Aft], Ау-, в которых знак суммы
?" относится к возмущающим массам, а величина
ф!,к) _ f(i,к) I I и. 4- f (Р7)
* ' + <5^ ^ Vt dm + йй 1 '
согласно теории бинарных систем рассматривается как зависящая от
"" Рь Уи а'ь Ft, y'h аь Рь Уь аь P'k, Y'k, t, в то время как /?|, у'
на основе
тех же правил считаются зависящими от аь $ь уь щь ?,• и t. Можно
также
легко показать, что имеет место [92] уравнение
j5|i da, d$j dal _й|(_ da^ <5gj
da, da,- ад dPi dy, dy, dai ' '
и другие аналогичные уравнения ; поэтому возмущения координат можно
выразить следующим образом :
1? V *п / ^ Г ^(<Л) W/ ^ I' Hi I
'If, = 2"mk\-daT j - -й- dt - -^J -^-dt +
о 0
% f , _ dSt r
+ ад J dpi ад".! ад +
о 0
<5g, !¦ dRm ,, dSi Г <5W>*) 1
+ -ыЬьГл--ъ\~буГл\> (r)
о 0
а возмущения двух других координат могут быть выражены аналогично.
На основе тех же принципов получается, что когда мы берем первые
производные этих возмущений (R7), интегралы могут рассматриваться как
постоянные ; поэтому мы можем либо представить перемену места возмущенной
точки /п, на ее относительной орбите вокруг тп путем незначительного
изменения начальных компонентов скорости без изменения начального
положения с последующим использованием правил для бинарных систем, либо
мы можем немедленно вычислить возмущения положения и скорости путем
применения тех же правил, немедленно изменив также начальное положение и
начальную скорость. Если мы применил! первый из этих двух
232
У. ГАМИЛЬТОН
методов, мы должны воспользоваться выражениями (О7), которые могут быть
записаны следующим образом :
Аа\ = V,, тк -Д dt,
(S7)
если же мы примем последний метод, мы должны взять :
А а',
г W'-1) .. , г дят ..
8щ М, Аа,¦- ^"тк j йа, dt ,
Щ = 2" тк Jdt, А[>1 = _ v" тк J - dt,
о о
л , г 8RW .. л ., Г SR(',k)
= ±*тк J dt, Ayi = - j dt.
m
Лагранж пользовался последним методом, но первый подсказывается более
непосредственно принципами настоящей работы [93] .
Введение времени в общем виде в выражение характеристической функции
в любой задаче динамики
23. Прежде чем мы закончим этот очерк нашего общего метода в
динамике, уместно будет вкратце остановиться на преобразовании
характеристи-
ческой функции, которое может быть использовано во всех ее приложениях.
Это преобразование состоит в том, что мы пишем [94]
V = tH + S (U7)
и рассматриваем часть S, а именно определенный интеграл
S=$(T + U)dt, (V7)
о
как функцию начальных и конечных координат и времени, вариация которого
согласно нашему закону переменного действия будет такова :
dS = -Нд t + 2*т (*' 8х - а' 8а + У' 8у - b' дЬ + z' dz - с' дс). (W7)
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
233
Отсюда частные производные первого порядка этой вспомогательной функции S
будут
(X7) (Y7)
SS 'dt - -H;
dS 6S = т,У', dS __
dxi - т' Х' ' d yt dzi
dS , dS = -т,Ь-, 3S _
дщ ~ а' ' dbi da
(Г)
Эти последние выражения (Z7) представляют собой формы конечных интегралов
движения любой системы, соответствующие результату исключения Н из
уравнений (D) и (Е), а выражения (Y7) представляют собой формы
промежуточных интегралов, во многих отношениях более удобные, чем
применявшиеся ранее.
24. Рамки данной работы не позволяют нам развить следствия, вытекающие
из этих новых выражений. Мы можем отметить только, что вспомогательная
функция S должна удовлетворять двум следующим уравнениям в частных
производных первого порядка, аналогичным уравнениям (F) и (G) и
выведенным из последних :
4+^4),+(4Г+(4),}="' <А*>
ss
dt
+ ^{(4),+(4Г+(4ГИ.. <В1>
и что для того, чтобы корректировать приближенное значение значения S при
интегрировании этих уравнений, или для того,, чтобы найти остающуюся
часть S2, если
S = S1 + S2, (С8)
мы можем воспользоваться символическим уравнением
А = А , v JL ( bS- А - '5S А , A M
dt dt ' ^ m \ dx dx dy dy ' dz dz) ' '
которое строго дает
^ = + + <E'>
если мы по аналогии принимаем определение
^ = 4 + ^ + (4Т + (4)'} (F-)
и, следовательно, приближенно
S2= SiU-UJdt. (G8)
о
При этом части Sv S2 берутся такими, чтобы они исчезали со временем. Эти
