Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
S2, то строгие интегралы (G) могут быть выражены посредством (В)
следующим образом :
ss1 . a s2 " ss1 as, ы' дгц + дГ)1 ' Р'' del dei • (^)
Сравнивая формы (44) со второй группой уравнений (1) для интегралов
невозмущенного движения, мы найдем, что следующие соотношения между
функциями Ф" Sx должны быть строго и тождественно истинными :
Л /i <5S, SS, as, 1
Vi - Ф1 ei" е2 > • • • > езп , дв1 , де2 ' ' дез^) ' ( )
и что, следовательно, при помощи равенств (К) интегралы возмущенного
движения могут быть представлены в следующем виде :
^ (. , <55, , as, , as, 'i
Vi ^1" ^2 " у ^3n у Pl у P2 у у Рзп H дёзп] ' ^
^
Таким образом, мы можем точно вычислить возмущенные переменные по
правилам невозмущенного движения (44), если мы, не меняя времени t или
начальных значений с, этих переменных, которые определяют начальную
конфигурацию, изменим (в общем) начальные скорости и направления путем
прибавления к элементам р,- следующих возмущающих членов :
г л <55, л as, . as,
VPi = ^> ЛРг = -*Г' •••> Рзп " (М)
Это представляет собой замечательный результат, охватывающий всю теорию
возмущений. Мы можем вывести из него частные производные у)\ или
связанные с ней величины "" которые определяют возмущенные направления и
скорости движения в любое время t. Однако аналогичное рассуждение тотчас
дает общее выражение :
<55. , л " , -<552 " . as2 . as"') ....
011 -~drji ' ' ^3n ' P a"j ' P2 de" ' ' ' ' ' P3n Sean J'
откуда следует, что после того, как мы изменим начальные скорости и
направления или элементы р" как и раньше, при помощи возмущающих членов
(М), можно применить правила невозмущенного движения (45) для вычисления
скоростей и направлений во время t или переменных величин ы, если, в
конце концов, применить к вычисленным таким образом величинам следующие
новые поправки на возмущение:
244
У. ГАМИЛЬТОН
Приближенные выражения, выведенные из предыдущей строгой теории
10. Изложенная выше теория дает действительно точные выражения для
возмущений при переходе от более простого движения (Н) или (I) к более
сложному движению (G) или (К). Однако может показаться, что эти выражения
мало полезны, поскольку они включают неизвестную возмущающую функцию S2
(а именно возмущенную часть полной главной функции S), а также
неизвестные возмущенные координаты или отметки положения rji. Однако в
последнее время было показано, что во всех случаях, когда найдена первая
приближенная форма главной функции S, как, например, здесь главная
функция Sx невозмущенного движения, поправка S2 может быть в общем
внесена с бесконечно увеличивающейся точностью. Но так как возмущения (М)
и (О) включают возмущенные координаты rjh лишь поскольку они входят в
производные этой малой возмущающей функции S2, то очевидно, что можно
подставить вместо этих координат сперва их невозмущенные значения, а
затем корректировать результат путем подстановки более точных выражений.
11. Функция Sx невозмущенного движения должна строго удовлетворять двум
уравнениям в частных производных формы (С), а именно :
as,
dt
SSx
dt
^ ^> ¦ • ¦ ' ' '' ' ' %nj - (Vi > • • • > Vsn) >
^ ' '' ' ' ' е± ' ' ' ' ' ?зп) =
> • • • > e3n) >
(P)
и, следовательно, согласно равенству (D) возмущающая функция S2 должна
строго удовлетворять условию
ds,
dt
Uzivi, ¦ Ъп) Pi ( ^ , • • • > й%хп , Vi > • • • > %п) +
+ F ' ' ' ' '7)1 ' •" '%п)
и может (ввиду того, что F является однородной функцией первой степени)
быть приближенно выражена так:
t
s2 = f{t/2(%, (R)
О
или с помощью равенства (I) так :
S2 = J{^2 (Vi, • • • . Ъ n) - Pi ("1, ... ,0>an,v 1, • • • ,
Ъп)} dt > (S)
0
т. e., принимая во внимание равенство (42),
S2=-JW2rff. (Т)
В этом выражении Я2 дается непосредственно как функция переменных величин
со,, но может рассматриваться в том же порядке приближения, как известная
функция их начальных значений еь /?, и времени t, полученных путем
подстановки вместо г]ь со, их невозмущенных значений (44), (45) в
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
245
качестве функций этих величин. Поэтому его вариация может быть выражена
одним из следующих двух способов :
№, = 2'(-^+^1Н <48>
ИЛИ
-5Я2 = 2 (-^ be + др) + dt. (49)
Принимая последнюю точку зрения и проведя интегрирование (Т) по времени,
причем элементы е" р, рассматриваются как постоянные, мы должны затем
подставить вместо величин /?, их невозмущенные выражения (39) или (1), и
тогда мы найдем для вариации возмущающей функции S2 следующее выражение
[104] :
t t
+ dt] . (50)
о
Это позволяет нам преобразовать выражения (М) и (О), характеризующие
возмущение, в следующие приближенные выражения :
о о
и
(V)
о
включающие только функции и величины, которые согласно теории
невозмущенного движения могут рассматриваться как заданные,
12. С той же степенью приближения, если мы напишем вариацию выражения
(44) невозмущенной координаты r]i в виде
4 = -^-*+ 2'(-?* + -$-аР), <5')
то возмущение этой координаты может быть выражено так:
Н = 2-^Ф, (W)
