Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
7.5. Запишем уравнение колебаний маятника
ml2cp + mgl ф = -kl2ф + IPа ~•-- б(ф - Фо).
(1)
где k,- коэффициент сопротивления среды, Р0 ~ величина возбуждающего
импульса, а фо>0. Вводя обозначения
перепишем (1) в виде ф +0)оф Согласно методу КБ
а =
т ml
Хф + / ф 21Ф| 6(ф -ф0).
. .U ePl
, ф = 0)0 - -
2(Оо
2(йоа
причем
cot, =
2л
-J ? X а й)0 sin ф - /а
sin ф 4-1 sin ф | с , , ч
(й0 хли 2-^ 6 (а cos ф-ф0)
• sin фо(ф =
= X а ю0 - -а ^ б (а cos ф - Фо) sin2 ф d ф - о
. / "a# sin ф0 , <рв ^ 1
X а щ--------------22, egg ^ __ < 1;
я а
Ха<"о, Фо>а;
ер1== -^ ^со0Ха81пф - 1ащ -sin ^sir1^* 8(аcosф - ф0)
I (Оо cos фо
2Я
¦ cos ф^ф
О,
Таким образом, если а>фо, то а =
-, совфо < 1; Фо >а.
2па
ф = 0"о +
/<Ро
2яаа
(2)
278
Нелинейные колебания
[Гл. 7
если же а<cp0, то
а = - ф " "о; ф = аое
М.
2
cos (й)0f + а).
Полагая в (2) а=0, находим
Здесь корень будет вещественным при условии po>2nk^ol. Следовательно, в
случае /?0<2я&фо/ стационарные колебания невозможны. Из (2) также
вытекает:
если о(0) < а1; то a(t)t -*00 ^ О I если аг < а (0) < а2, то а <V>
если а(0) >?*2, то a-*• (%.
Итак, для возбуждения незатухающих колебаний с амплитудой а2 необходимо,
чтобы начальная амплитуда была больше щ.
Нетрудно видеть, что в этом случае средняя за период мощность
возбуждающей силы
равна средней мощности, рассеиваемой вследствие сопротивления
7.6. Запишем уравнение для радиального движения спутника массы т в виде
где /?0 - радиус Земли.
Пусть значение рeq-R соответствует радиусу невозмущенной орбиты. При этом
частота обращения связана с моментом импуль-
N* Ро 2~" б (Ф - Фо) <tdt -- т[2 юо Va% -
г
о
среды
г
о
(2)
(1)
са соотношением М=т(й<Д2\(01 = gR&/Rs. Следовательно,
Собственные колебания и мегод Крылова - Боголюбова
279
Далее разложим "эффективную" силу-в точке рeq=R
по степеням х=р-R. В результате с точностью до членов третьего порядка
малости включительно получим
ди , , 3от"0 2 6mto0 ,
= - т со? х Ч--------------х----------х3
ар 0 ^ R R2
и, следовательно,
где
х + а>оХ - eQ(x),
3(й? бсоН
е Q (х) - х1----------------------Xя.
w R R*
Применяя далее к этому уравнению метод КБ, получим
"""•(1 + т(х) )•
где do - амплитуда колебаний.
7.7. Помещая начало координат в центр силы и совмещая плоскость Оху с
плоскостью движения, запишем лагранжиан планеты
L = (р* -р*ф(r)) -t/(p),
одно из уравнений Лагранжа и интеграл момента
" '<> тМ 2тХ ,,,
тр = шрф2- у- ------------, (1)
ра О3
т рг<р = Мг0. (2)
Используя (2), перейдем в (1) к переменной q>
P = pWJ!k,_Jk(-L)',
тр2 т \ р /
(т)'
т \ р / тар
Следовательно, из (1) получим (ц=1/р)
* , 1 . 2кт* М\ ,оч
и -f- и =------------------1----------------и, рв ------- (3)
Ро РоуМ ут?М 4
Для того чтобы представить (3) в стандартной форме, введем функцию
1
х -- и---------.
р"
280
Нелинейные колебания
[Гл. 7
Тогда из (3) найдем
2Х
УРоМ
Решение (4) ищем в виде
S + x=sJ"±(x + -L.y (4)
* = аС08ф + ер0-1-в V -^"cosmj) + a"sin m|>),
i ft
пф 1
причем
2Л
еРя = - [ ~гг (х+ -) cos npiy = -Щ- (аб^ + - б"0
Л J УРоМ \ ро ) УРоМ \ ро
о
еа" = 0.
Следовательно,
а = а0, (' _ _Д_) + Фо,
2Х . х ------------j- а0 cos
ур%М
1 %
Итак,
= -Й" + а"ш8
Росг
р
а
Э^+Ч- (5>
(6)
[ +8COS
Р = Ро ( 1------------------' 8 - аоР-
РоС2
Из (6) следует, что траектория тела является незамкнутым эллипсом.
Угловое смещение большой полуоси за время одного
оборота 6ф - 6л^ _ Выражая его через длину большой полуоси Рос3
а и эксцентриситет ео, с помощью формулы
ут?М получим
бф=-W
с(r)а(1 - &jj)
Собственные колебания и метод Крылова - боголюбова
281
§ 2. Колебания системы с медленно меняющимися параметрами. Адиабатические
инварианты
7.8. Запишем лагранжиан маятника для случая |<р|<1: L
- ml2 фг -- mg/ф2; 2 2
здесь l = l(t). Тогда уравнение движения имеет вид
ml2ф + mg/ф - 0.
Отсюда, переходя к новой переменной /, получим
+ gi ф = о
dl dl s
или
ф" + 1ф' + -^-ф = 0.
/ ш2
Решением (1) в области />0 является
(О
ф(0 = ~у=-
AJ1 К g/) + ^(-1/*/)], (2)
где Ji(x) и Ni(x) - соответственно_функции Бесселя и Неймана первого
индекса. В случае v Y gl аргумент функций велик. Поэтому можно
воспользоваться их асимптотикой:
А (г)
NAz)
/г
|/ яг
COS 2
•Л
sin J г л
Тогда решение (2) приобретает форму
Ф = С/
-3/4
COS
(v^1
+ Y ,
(3)
где Сиу - произвольные постоянные. В этом случае (и<С V gl) решение (3)
может быть получено методом КБ (см. задачу 7.9).
7.9. Запишем уравнение движения маятника в виде
dt
(т(т) ф) + Л(т)ф = 0,
где т{%) =m0l2; k(t)-m^gl\ 1 = 1й+ит; t = ef (здесь в- символический
малый параметр).
282
Нелинейные колебания
[Гл 7
Применяя к этому уравнению метод КБ, в первом приближении получим
cp=acostjj, причем
а ------------.-i-ти; (1)
2т(c) at
*-ю- /т^г (2)
Интегрируя (1) и (2), находим
а2тсо = const; аг1у2 -= const; яр = - Vgl + яр0. (3)
V
Следовательно, решение имеет вид
Ф = а0 ^-A-j3/4 cos V~gl + яр0 j,
1 di " ,
а условием медленности изменения длины является - , - <^1, т, е.
