Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
имеет решение
*
х = Аа sin (at -f Ad cos ю*,
•256
Линейные колебания
[Гл. 6
где
А _ F0 _____________2|ш_________. . _ Fa (cog-ffl*)
° т [(о"о - <й*)* + 4(1%*] ' т [(ш|| - со3)* + 4ц%*]
<эти амплитуды называются амплитудами поглощения и дисперсии
соответственно).
Используя это решение, легко находим среднее значение по-тлощаемой в
установившемся режиме мощности
•С другой стороны, средняя мощность, расходуемая на трение, равна
Л* = m<"Y [А^ +
Пользуясь определениями величин Аа и Ad, находим, что
=>.
6.48. Перепишем исходное уравнение
х + ух + "о х = - F (О
т
(r) виде d
dt
*++ir) *] - ('"i - f) [*+('"¦+f) *] - г *")•
где со? = coo -~ > 0. Отсюда получим
*-(*-0)
где g = x + + *¦
Решением однородного уравнения, соответствующего (1), является функция
1 = Ае\ 2'.
Следуя общему правилу, ищем решение неоднородного уравнения О) в форме
Вынужденные колебания
257
Тогда получим
А= - F(t)e [ 2} ,
т
и, следовательно,
? = Cel 2} + - f F(t')e[ 2 1 dt'.
m J
Полагая константу С равной онае101, найдем
v /
1
х = Im ? = ае 2 cos (с+ a) -f-
%
t V /
+ -- f F(t')e~1<' 'sin (c)! (t - t') dt'.
moh J
f"
6.49. Используя обозначения задачи 6.29, запишем лагранжиан системы
-а? = ~ (ф? + ф!) - -у- (ф* - фО* - (ф! + ф!) - ,
где Ue - энергия взаимодействия системы с внешним однородным полем
ui = - cos <Вв/-/ф8.
i
Выбирая вместо координат ф1 и фг главные координаты 0] и 02 (согласно
формуле (2) задачи 6.29)
Фх = 0^ -[- 03, ф2 = 0х - 02,
получим
JL = ё? + 02 - СО?0? - col 022 + - (01 - 08) COS .
m/s ml
Соответствующие уравнения движения
258
Линейные колебания
[Гл 6
имеют решения-01
CO.S
2т1
0)f -0)2
09. -=
Fq COS (Of/
2т I
6)п
Следовательно, вынужденные колебания описываются функциями
Фх
- COS (О i ¦
2ml
1
ох
2ml
cos (о J •
СОТ - 0>*
о? - cot
Отношение амплитуд <рю и ф2о маятников равно
Фм
<вх - о>г
ш2 + - 20)е
Если частота внешней силы шеЭ>(02 ной частоты системы, то
наибольшей собствен-
Фм
фао
щ-щ
2о)2
"1-
(1)
Для частоты сос<о)|
Фю
фго
наименьшей собственной частоты -
<1- (2)
,,2
<В2 - (В,
OS
0)7
Из (1) и (2) видно, что рассматриваемая система маятников может служить
"фильтром", т е может сильно ослаблять влияние внешней силы частоты юе,
лежащей вне интервала ("ь соа).
6.51. Запишем уравнение движения зарядов без учета сопротивления
mr - еЕ0 oos cot.
Отсюда
г -
mto
Е0 sin <ot,
а средняя мощность, передаваемая полем частице,
е2Е,
та
{<№) - е (Ev) -
Если учесть сопротивление, то
mr = eE0cos сat
- (coscoisintof) = 0.
¦mv г.
(1)
Вынужденные колебания
259
Решение этого уравнения удобно искать в комплексной форме.
В связи с этим вместо (1) напишем
/яг = еЕоб*(r)1 - mvr. (2)
Частный интеграл уравнения (2) имеет вид
г =
где
А =- е = e(v-|0>) Е =
т (v.+ t ш) ° m (со3 j - v3) 0
е Ео^,
т у/(c)3 + va
причем
V , - со
cos q> = -sin ф
УвР + у* ' ю2 -j- vs
Взяв реальную часть от Ае*(r)*, получим частное решение уравнения (1)
Г = 'лГ а ~Т~ Е° C0S ~ ф)'
я У ш11 v(r)
Следовательно, общим решением уравнения (1) является функция
г - Се-'Н ---------7===- Еоcos (cat- ф).
т /ш3 + v2 47
Средняя энергия, передаваемая частице, теперь равна
е2?д
("#>) = Zr=r-.-r ¦ (cos cat cos (cot - ф)> =
т. У or -f- v2
e*Ei егЕ% v
= -------г Г-COS ф -------------------
2т у (о3 + у* 2/и (йЯ + V3)
Влияние сопротивления, таким образом, сводится к появлению составляющей
скорости, совпадающей по фазе с фазой внешней силы. Следствием этого
является передача энергии поля заряду.
6.52. В силу линейности уравнения его решение можно представить в виде
jc(0= j 0(t, t')f{t')dV. (1)
-оо
Если внешнее воздействие имеет вид f(t)~8(t-fj), то
x{t)^G{ttt,). (2)
9*
260
Линейные колебания
[Гл 6
Поскольку х(^)=0 при t<tu то
G(t, /0 = 0 при/С^. (3)
Функцию G(t, t') называют функцией Грина. Согласно (1) и (2) она
удовлетворяет исходному уравнению, в котором неоднородный член
представляет собой дельта-функцию:
G+W?+<"SG-6(f - V). (4)
Учитывая, что
90
б (t - f) =¦ -Г e'a(t~r)dco,
2л J -00
решение (4) ищем в виде
ОО
G (/, V) = - С (5)
2л J - 00
Из (4) получим
?(">) =
ио
Следовательно,
0)| I О)?. - со(r)
1 г лшЦ-Г)
G(t,t') =-------------- \ Ао, (6)
2я J (и - mj) (и - со2)
-00
где
(c)1,2 = ~~ ± щ; т= <
2 ха
(c)О------------------
Благодаря тому, что полюсы подынтегрального выражения находятся в верхней
полуплоскости, (6) обращается в нуль при i-f'<0. Действительно, при ?-
?'<0 реальная часть imit-t'), равная - положительна, а контур
интегрирования
замыкается в нижней полуплоскости (й"=1тсо<0. При t-Р>0, замыкая контур в
верхней полуплоскости, находим
W-n
- е 2 sin(c)o(^ - f), t - Г>0;
G{U 0 =
%
О, t - t'< 0.
Таким образом, получим решение исходного уравнения, удовлетворяющее
условиям х(0)=0; х(0)=0
Вынужденные колебания
261
6 53. Предположим, что электрон осциллирует около ядра, которое находится
в начале координат. Тогда уравнение движения электрона будет иметь вид
тг - Яг + тщг = е E(|r - Rj), (1)
