Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
2 / 1 . 2 \. 2 %
ft), = "Л Ь - . "2 = -,
\ m М / т
а для несимметричной (mi=m2==m; /Пз=М)
-UiA
Af / f
2 "1 / 3 .
(0,2 /--------------------
2 \ т М } У m2 Л4а mAf
2) Рассмотрим теперь поперечные колебания молекулы. Потенциальную энергию
изгиба молекулы запишем в виде
"af2 *з
Собственные н главные колебания системы
247
где 5 - отклонение угла от значения я;
8 - у [(&> - Уз) + G/i - Уз)\, (6)
%2 - жесткость молекулы при изгибе.
Используя (4), (5) и (6) и выражая все смещения уи у2, Уз через б:
Уг = - Уг, Уг~ - Уз, Уз =------------'Гт"4 7-5>
ту т2 т\Щ + чт^з + т^Шз
найдем лагранжиан, характеризующий поперечные колебания молекул
<? = Л S ЛИ. уг §2 =
2 2 2
___________________________________ g2________________________________
g2
2 (mi/n2 + 4т1да8 + m8m8) 2
и квадрат собственной частоты
= + - +-).
\ тъ тг щ J
Для симметричной молекулы (mi=m3=m; т2~М)
со2 = 2иа (- +-М,
\ т М /
а для несимметричной (т\ = т2=т\ тъ=М)
6.39. Начало координат поместим в одну из точек закрепления струны, ось х
направим по импульсу Ро, а ось у - вдоль покоящейся струны. На
материальную точку с номером п действует сила
¦{2хя - xn+i - Xn-i),
I
следовательно, уравнениями движения системы являются
Xi = - а (2хх - х2); х2 = - ka (2лга - x^ - xs)',
Xg = - a(2xs~x2),
248
Линейные колебания
[Гл. 6
где a=4F0/ml. Отсюда получим уравнение для амплитуд си с2, с3:
(2а - юа) Ci -- ас3 = 0;
- kaсг -f (2ka-ша) с% - kacs = 0;
- аса + (2а - юа) ся = 0.
Затем из характеристического уравнения найдем квадраты собственных частот
со? = 2а; <о|,з = а [(А + 1) ± Y& + 1]"
а из уравнений для амплитуд - соотношения между амплитудами
41* = 0; 4" eff";
)=."?"; c|?> = cf;
<?>(2а-<о1) = о43); cfW33)-Наконец, получим общее решение
% = 1ш (cfW + cf* elm^ -f cf * e'(a3t);
x2 = Im (- (2a - (c)!) cf* + - (2a - of) cf * еш>*);
[ ft ft J
xa - Im {- cf* eie>it + cl2* + cf *
Если в начальный момент времени t= 0 лгю=*2о=*зо=0, а скорости точек
*2о=*зо=0; Х\о=Ро!т, то из общего решения най-
дем
х - Р" (2a - т|) (2а - юз) Г sin coz< _ sina)^
2 2та (<й| - <о|) L о* i)s J'
6.40. Поперечное смещение шарика с массой 8т равно
J_. JS_ {лГКт
14 a \ V 3 V 20 /2/'
где a2-F0/ml.
6.41. Пусть N материальных точек совершают продольные колебания, а точки
с номерами 0, iV+l (крайние концы пружины) закреплены. Обозначим через хп
отклонение л-ой точки от положения равновесия. Тогда кинетическая энергия
системы
Собственные и главные колебания системы
249
а потенциальная энергия
N+1
и " j -J- (xa-x"-i)2, х0 = Хлч-1 " о.
П=1
Учитывая, что -^- = 6^ - символ Кронекера, находим дхк
ди /п ч
-- = к {2хп - Хп-1 - *n+l), дхп
где х- жесткость одной пружины. Следовательно, из уравнений Лагранжа
получим систему
хп + (c)о (2хп - хп+{ - xn_0 =- 0, (1)
где <Do = V, 1т.
Ищем решение (1) в виде
= Л"соз (erf + ф). (2)
Подставляя (2) в (1), найдем
- (D2i4" = (c)о (Д^! - 2Л" + Aj+i). (3)
Каждое из этих уравнений напоминает дифференциальное уравнение, так как
связывает значение амплитуды Ап в "точке" я с ее значениями в близких
"точках" п+1 и п-1. Поскольку уравнение линейное, то естественно искать
решение системы (3) в виде
Ап = №kna. (4)
Действительно, амплитуды такого вида удовлетворяют системе (3), если
частота является определенной функцией волнового числа k, а именно
<a2 = 4(DoSin2-^-. (5)
Таким образом, получим решение (2) в действительной форме
хп = С cos (kna + a) cos (at + ф), (6)
где (r){k) определено в (5).
Далее из граничных условий x0=*n+i=0 находим а=к/2 и набор возможных
волновых чисел
250
Линейные колебания
[Г л 6
Этот набор определяет собственные частоты
ft>m = 2g>0 sin -2- = 2оо0 sin
(8)
1 Пт 2(N+l)
и амплитуды
С.И-СВЫ^. (9)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1) При N= 1 существует одно главное колебание (т= 1) с частотой (c)i =
1/2(c)0 и амплитудой Ci = С.
2) Если N=2, то первое главное колебание (т=1) совер-
ТС *
шается с частотой a>i = 2ra0sitt - = ш0. Амплитуды этого колеба-
6
ния соответственно равны
C1(l) = Csln-|-=-!^-C; C2(l) = Csin-|- = -*^-C.
Для второго главного колебания (т=2) получим частоту
2jt у
ю2 = 2co0sln --- - У Зю0 и амплитуды б
С1(2) = Св1и-^-=-^-С; Ca(2) = Csid^ = -J^-C.
Очевидно, что каждую моду (т. е. главное колебание) можно возбудить,
задавая начальные условия, соответствующие "конфигурации" амплитуд данной
моды
Фазовая скорость волн, бегущих по рассматриваемой цепочке, равна
и = _^= 2в"(ДГ+1)я с1й яп
k тп 2(W+l)
, 2я 2(JV+I)a
и различна для волн различной длины Я=-¦ =-1-1--.
к т
Например, в случае N^l для коротких волн, возникающих при возбуждении
самой высокой моды (m=N),
__ 2a(N+l)
mln - ^-----Za>
ю ах = 2(c)0sln ---------= 2(c)0; v - ......
т*х 0 2(ЛГ+1) " я
Для длинных волн, соответствующих моде т=1,
Я,тах = 2 (N + 1) а = 2L (L - длина цепочки);
Собственные и главные колебания системы
251
Следовательно, скорость распространения длинных волн больше, чем
коротких.
6.42. Функция Лагранжа
N N JV+1
тР ^2 mgl тз _ хР
