Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Методы усреднения
307
а - ie°Q
Ш)- ПЫЧ-*2]3'2
у ___ ie"Q Ь
11 &о Is :-^2 Следовательно,
а = а0е1ф(г); а0 = Re?*'; Ь = Ьй - ге^";
ф(0 f
Дна J
eoQ Г Л
[Я* f- /¦- + 2^ (t)f'2
"ОО
Закон движения заряда в плоскости Оху определяется функциями
х = г cos (ф - р0) + R cos (<at + ф + ав);
у = f gin (ф р0) 4- ((at + ф + од.
7.29. Электрическое поле представим в виде
Е = Е I + Е i> Е_l = / (0 е,
где Ек -составляющая, параллельная вектору H=tp(?)h. Решение уравнения
mv - еЕ+- [vH] (1)
С
ищем в виде
[eh]
h3 ф
Поскольку eh=0, то (1) сводится к уравнению
^еЕ]]?Й + с J^L/ + Vl. (2)
тс [eh] 4- {f!ф) + tmt = - [Vjh] ф. (3)
h? dt с
Теперь сделаем подстановку vl = vp+V2,
Vp =----------- -(// ф) [[eh] h] = - (//ф) e.
p h*<fe dt J 1 eh3<p dt
Тогда из (3) получим
mv2 + mvp = - [ v2H]. (4)
с
Условие медленности изменения полей позволяет пренебречь членом mvp.
Таким образом, оставшиеся члены соответствуют движению частицы в
магнитном поле. Итак, скорость ведущего центра
Г ^ ... t тс d ( Ед ^
308,
Нелинейные колебания
[Гл. 7
7.30. Уравнение движения электрона имеет вид
mv = е0уФ - - [vH], (1)
С
где
Ф = - * + Ф_. d
Предположим, что высокочастотное поле отсутствует. Тогда, используя
интеграл энергии
f(x* + y*)--?fx^0 (2)
и один из интегралов уравнений движения
у = <в0* (й)0=^\ (3)
\ тс }
получим
О 2 О , 2€qU / Л \
^ = rf- щ х2 + -- х. (4)
та
Отсюда видно, что л обращается в нуль при х\ = 2e0Ulmdm. Следовательно,
при Xi<.'d, т. е.
V тщ
2eoU <d'
магнетрон заперт - ток отсутствует.
Теперь рассмотрим "дрейфовое" приближение. Движение электрона в
рассматриваемых полях можно представить как движение по окружности, центр
которой, в свою очередь, перемещается. В связи с этим решение (1) будем
искать в виде
г - го + R, (5)
где г о - медленная функция времени, определяющая положение центра
окружности, a R-осциллирующая с частотой юо функция. Предположим, что
высокочастотное неоднородное поле удовлетворяет условиям
I 2я ЗФ I coo dt
п 5Ф дг
"|Ф|-
"|ф|;
Тогда (1) можно записать в виде
т (го + R) =5= с0уФ (го) - - [f0H] - - [RH].
Методы усреднения
309
Поскольку за период 2я/ю0 величины г0, г0 существенно не изменяются, то
при усреднении их можно считать постоянными. Поэтому после усреднения по
периоду 2п!щ найдем уравнение, описывающее поведение центра окружности:
О = е0уФ (г0) -- [г0Н] (6)
с
(здесь также учтено, что |тг0\<^ - |[г0Н]). Умножая (6) векторно
С
на Н, получим
с .ж. ,*ч/ ' с дФ • с ЙФ
ro--lHv(r)(ro./)l; ; у°=Ц-Ъ-0' <7>
Ф (х0, t) = - х0 + - sin (ait - Арг/о) sh kyXo.
d ky
Эти уравнения определяют поведение "ведущего" центра.
Ci)
Далее удобно перейти к новой переменной у'=уо-ut\ ы=-
ky
Тогда из (7) получим (индекс "О" у х0 и уо далее опускаем)
с йФ'
<8)
У' -- -jr ¦ (9)
Н дх
где Ф' = (v0 - и) - х - sin (kyy') sh kux\ v0 = - скорость
с ky Hd
дрейфа в направлении оси у в отсутствие переменного поля. Фактически
замена переменных у-*-у' соответствует переходу в систему отсчета,
движущуюся вместе с волной. Поскольку скорость (х, у') перпендикулярна
УФ7, то траектории ведущих центров совпадают с эквипотенциалями Ф'=const.
При точном синхронизме волны и электронов (n=t>0) траектории ведущих
центров определяются уравнением
С = - sin kgy' sh kyX] C = 0, (10)-
ky
т. e. эквипотенциалями являются катод x~0, прямые kyy'=0, ±я, ±2я и т. д.
Из (Ю) и (8) видно, что при -я/2<кцу'<п(2 движение происходит ок катода к
аноду. Электроны образуют "язычок", движущийся к аноду. Электроны
попадают на анод, когда ведущий центр приближается к нему на расстояние
= t>o/wo. Наи-
310
Нелинейные колебания
[Гл. 7
меньшее время U движения до анода соответствует ведущим центрам,
движущимся при kyy'=0. Из (8) имеем*-
diH
и, следовательно,
d-Rt
dx Н Н
th
¦у
t1= I -------------. _2_ ^ _2_ 1П
sh kyx cE ckyd kyRi
Итак, при точном синхронизме (u = v0) бегущая волна сколь угодно малой
интенсивности отпирает магнетрон - появляется анодный ток.
7.31. Скорость заряда удобно разложить по ортам т, п, е: т - орт,
направленный по касательной к силовой линри магнитного поля; орт п
направлен по' главной нормали к силовой линии;
п/Р =-------- = - 0*v) *
OS
(здесь р - радиус кривизны; 5 - расстояние, отсчитываемое вдоль силовой
линии), а е=[тп].
Будем искать решение уравнения движения
тт - ~ [rH] (1)
в виде r = r0+R, где г0 - радиус-вектор ведущего центра, a R описывает
вращение вокруг силовой линии (Rt=0). Скорость ведущего центра представим
в виде
г'о = voi + st. (2)
Далее будем предполагать, что
dH
<|Н|; Ivoj.Кs<? |R|
В этом случае R(f) является быстро осциллирующей функцией, а vox, 8 -
медленно меняющимися ^в масштабе Г=2я/(о0; со0=
еН(го) \ фуНКЦИЯМИ времени. Используя квазиоднородный ха-
те 1
Методы усреднения
311
рактер магнитного поля, из (1) и (2) найдем
т (vo_L + st - - + Rj =¦ ~ [vox + st + R, H (r0) + (Ry) Н].
(3)
После усреднения по времени из (3) получим
=-4v0±H(r0)] + - <IR, (RV)H]>. (4)
\ p / c C
