Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
(c) at
V < 1(й = Kg/.
7.10. Закон изменения полной энергии планеты в поле звезды приводит к
уравнению
i?- =_____= (1)
dt dt г т
Усредним (1) по периоду невозмущенного движения, т. е. по периоду Т
обращения планеты при постоянной массе М,
Т = 2л a12 Yml а, се - у тМ.
Величины Е и М при усреднении за время Т практически не изменяются,
следовательно,
(2,
О
Теперь используем параметрическое представление r(t):
г = а(1 -ecosi); /=т/^(|_eSing); dt = л[ - •- <$.
у а га а
В результате из (2) найдем
dE mM
= - Y
dt а
Колебания с медленно меняющимися параметрами
283
о тМ
или, поскольку Е = -V----------,
2 а
- = 2Е*-.
dt М
Таким образом, получим адиабатические инварианты
?
= const; Ма = const.
ма
Ввиду того, что квадрат малой полуоси
М2 М2
, -2-с/>
2т | Е | 2тМ?
имеется еще один адиабатический инвариант
Mb = const.
Поскольку Ма и Mb адиабатически сохраняются, орбита планеты остается
подобной.
7 11. Аналогично предыдущей задаче находим
dE ¦ / тМ \ ¦ тХI п у "
- = - у (--------) - Y------ = 2 - Е,
dt \ г I а у
где а - большая полуось орбиты ц-ючки Далее получим
Е у~2 = const; а у -¦= const; b у = const.
7.12 Поскольку магнитное поле изменяется вдоль оси г, то из уравнений
Максвелла rotH=0, divH=0 следует, что кроме компоненты Hz отлична от нуля
и другая компонента Яр. Вектор-потенциал рассматриваемого поля имеет одну
составляющую [26]
Следовательно,
дА," р
нр= L Я' (г) + .
дг 2 w
яг = - .-|-(раф) = я(2)-ь
Р Ф
Далее из уравнений движения
284
Нелинейные колебания
[Гл. 7
ту = ¦-*-^хН + -j-гхН' находим
4г '-Г~ ^ "~^Г^ху~ух)Н' (1)
dt 2 2с
где vs. - составляющая скорости в плоскости Оху.
Усредним (1) по такому движению, какое имело бы место при постоянном поле
Н и происходило по закону
V I
л:(/) = л:0 -(-- sin (со / + а);
(О
v I еН
У (0 = Уо + - cos (" t + а); о> =--------------------- (2)
<u тс
Подставляя (2) и (1) и усредняя по периоду 2л/со, получим л mv2, t.
v2, . mv2, И
JL . =L = _i_ Я =--------•---------------- (3)
dt 2 2c & 2 H v
Из (3) следует, что
= const, TL = ^t-. (4)
H X 2
Существование инварианта (4) приводит к интересным следствиям. Запишем
интеграл энергии в виде
Г1 + ^!_=Г0. (5)
Подставляя сюда Г^из (4), получим
Т
Z2
2 Т" Н (z)
По
где Т±о, Н0 - значения энергии поперечного движения и поля в некоторой
точке za. Если Я (г) возрастает, то в точке гь определяемой условием
7',-^-Я(г1) = О,
По
частица отразится - составляющая скорости z изменит знак. Поверхность
z~Z\, непроницаемая для частиц, называется магнитным зеркалом.
Колебания с медленно меняющимися параметрами
285
Пусть теперь частица сталкивается с двумя магнитными зеркалами,
движущимися навстречу друг другу со скоростью и. Тогда после каждого
отражения компонента скорости г частицы возрастает на 2 и. Эта идея была
высказана Э. Ферми в качестве возможного механизма ускорения частиц.
7.13 Поскольку "2(0 медленно меняющаяся (в масштабе т) функция времени,
то при |оз|т"1 будем искать решение в виде
х - А (t) eIs(0.
Из уравнения x + <A=0 имеем
А + 2iAs -f isA - sM -)-(oM = 0.
Отделяя здесь мнимую и вещественную части, получим два уравнения:
А - sM -+- со2 А = 0; 2As + зЛ = 0.
Из (2) находим, что
Из (1) следует
Vs
ОТ
Если
А
Лоз2
А_
А
" и
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
то в первом приближении можно считать
si _ (йг_
Следовательно, решение задачи имеет вид
/
¦cos
0)
№
со2 dt + а) при со2 > 0
(6)
X =
Vk'dt
/А
+
"а - f YkHt
Vk
- е
при со2 - - Ы1 < 0.
(?)
Решения (6), (7) в окрестности точек to, где со2(/0)=0, становятся
бесконечными Это обстоятельство связано с тем, что в области t~to
приближенные решения (6), (7) становятся непри-
286
Нелинейные колебания
[Гл 7
менимыми. Определим окрестность |f-'/о|> в которой еще можно
пользоваться (6), (7) Подставляя s = ]/co в (5), получим
Л~а>-5'2(c)(r), (^г)2" L (8)
Разлагая со2(t) в ряд в точке t0, будем иметь оо2(0 = ~b(t~t0),
где
Агл2
> 9. Тогда из (8) найдем
dt
< 1, т. е. \t - t01 > b-У3.
b3/2(\t -10\ )3/2 Учитывая, что в со2/тг, получим
1'-М"^ЯГ- <9>
При | <д)|т^1 условие применимости решений (6), (7) выполняет-
ся, начиная с момента -------< т. Условие (8) является усло-
(| ш | ty'"
вием адиабатичности изменения величины со, так как по определению какая-
либо величина p(t) меняется адиабатически, если Р
, < 1.
<0р I
7.14. В области t>t0 два линейно независимых решения имеют вид
t
хг =-y=rexp j- (1)
to
t
D
Vk
jj (2)
а в области t<to
A
xt = sin ^JlAoMif -focj ; (3)
t
fa
Хг - -^L-cos ^Jl/co2dif -+- pj . (4)
t
Искомая связь может быть найдена из условий непрерывного перехода решения
в точке t=tQ. В окрестности этой точки
со "(*)=_&(<_<*)
Колебания с медленно меняющимися параметрами
287
и, следовательно,
х - b(t - t0)x - 0.
Решением этого уравнения при t>t0 являются функции Эйри [8]
где
4>i " = ]/
(r).М = /Т- ['"> (т*'*) +
-1/3
,тЗ/2
т = ф1(0) = -^-г(-
2/я \
= 0,629,
Ф2(0)
З'/з
2/я
ш-
При т < 0 аналитическое продолжение дает
