Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
~1Г
/1=1 /"=1 /1=1
if /К "т*
2ф2^--т2 (Ф"-Ф/.-оа.
где <рп - угол отклонения от вертикали n-ного маятника;
Фо=флт+1=0; х - жесткость одной пружины. Тогда уравнение
Лагранжа для маятника с номером п имеет вид
Фл=---- 12фя - Ф/.-1 - Фп+ll 7" Фа- (1)
т i
Решение этой системы будем искать в виде
<рл = 4cos("rf + p). (2)
После постановки (2) в (1) найдем, что
А.+, + 4,-. - А. (2 - -2. и" + X . -2.).
Затем, полагая Ап=A sin kna+B cos kna и учитывая, что в этом случае
Ди-i + Ап-1 = 2/4"cos/ta, придем к дисперсионному соотношению
I ^ т 2
Отсюда, учитывая заданные граничные условия, находим квадраты собственных
частот
"?¦=-?- +-eta1 -п (л=1.2,...Л0.
I ^ т 2(tf + l) 4 1
6 43. Запишем систему (1) задачи 6 41 в виде
*/1+1 -Хп хп - хп- 1
т •• ш
as я s
а* а"
= 0, (1)
где s - площадь сечения непрерывного стержня, эквивалентного пружине.
Ясно, что при а-*0 отношение m/as переходит в плотность массы р. Далее,
при этом предельном переходе координата должна перейти в переменную и,
характеризующую деформацию стерж-
252
Линейные колебания
[Гл б
ня, а индекс п - в координату г, т. е. хп-*u(z). Также очевидно, что
хп+1 ~ _ и (г + а) - и (г)
а а
% - 1 ___ и (г) - и (г - а) у
а
хп+1 ~ х* х* ~~ хп-\
=^lim (
я-"0 \
ди
дг
. ди
дг Z
ди I
дг \2-а
ди | \
дг L
дг(r)
Произведение nafs в пределе даст модуль Юнга Я = lim xa/s.
а-*0,
Итак, продольные колебания непрерывного упругого стержня будут
описываться дифференциальным уравнением в частных производных
д3и 1_ д2и - ...
дг(r) о(r) д/* " '
где v2=E/p.
Приближение непрерывного распределения массы справедливо в случае, когда
а весьма мало по сравнению с длиной волны. Действительно, используя
выражение для скорости длинных волн (см. задачу 6.41), получим
xa*s _ as ул > Е
ms т s р
Для нахождения дисперсионного соотношения будем искать решение (I) в виде
плоских волн и=е~ш~гКг. Тогда найдем, что m=kv. Это соотношение говорит
об отсутствии дисперсии скорости.
6.44. В предельном случае непрерывного распределения маятнику с номером п
будет соответствовать положение равновесия в некоторой точке х (ось х
направлена по горизонтали); следовательно, отклонению ф" (как функции н)
будет соответствовать функция ф(х, /). Для смещения "непрерывных"
маятников, расположенных в окрестности точки х, имеем
Ф,(+1->.ф(*+а, о=ф(*. о+а-*фя(х: 0 + ... ;
дх 2 ' дх1
фп_1-"Ф(*-а, 0 = Ф(*> 0 + •¦•
дх 2 дх*
Аналогично для обобщенного ускорения получим
•• ^ д*ф(х, б
Вынужденные колебания
25"
Используя эти предельные выражения, вместо уравнений движения
"дискретных" маятников
Ф* = - (Ф"+! + фа-1 - 2ф") - -f <р"
т i
получим волновое уравнение Клейна - Гордона
д^ф хаа д"ф__________g
dt? m Эх* " /
(подобное уравнение справедливо для волн де-Бройля релятивистских
свободных частиц).
§ 3. Вынужденные колебания
6,45. Уравнение движения
(*>
т
можно проинтегрировать, вводя переменную g=je+i{D0*. Тогда вместо (1)
получим уравнение первого порядка
т
Его решением является функция
<
J /It
--00
Следовательно
t
* = - Im| = - С F(t')8inaa(t - 12}
(c)О ШФф J
-00
Энергия осциллятора в момент времени t
= (x*+vlx*) = = -L| J F(t) dt P. (3)
Энергия, переданная осциллятору в случае а), равна
ЯШ 00
Е (оо) = J iF (I) dt = -±- | J F (t) er^dt |а-~| Еи.|2, (4>
-254
Линейные колебания
{Гл 6
где
ое X
Рл==~к f (5)
71 -" о
коэффициент Фурье функции F(i).
Чтобы получить энергию, переданную осциллятору в случае б), разложим
функцию F(t) в ряд Фурье
"9
?(*) = J] С^""; Q = ~~;
C^jr^F{t) er*** dt - ~^ Ft-** dt (6)
о 0
а, сравнивая (5) и (6), найдем, что Cn-QFo^a,-
Теперь используем полученные формулы:
а) Согласно (2) при i^x
Т
X = -f р0sin(c)0 (t - Г) dt' = -^V sin Bin (<o0t - \.
mffle J ffMog 2 \ 2 /
Из (3) найдем для энергии осциллятора
E(t)= 0 < f < т;
тшц 2
? (f) =s J^!L sin2 f > т.
ШШд 2
В случае шо'г<С 1 энергия, переданная осциллятору,
ОП А
,t fgt*
2m
б) Для силы, действующей на бесконечном интервале времени
gfco,/ р ^ JL ?пШ_gfm,*
JUJ#r /1
nQ)m
Вынужденные колебания
255
где С" = Aj**. Отсюда
-Т - 1 Im? 1 V Ла cos("М + an) - cos(ai*l + an)
(Oq то*" " а>о - лй
л*-••
причем в резонансном nrQ=e"o" а
М"
л: = -- sin (w01 + а"г).
*Л^
mo*"
В нашем примере
т
0,-^.Г сН"04 л = -^2- (e~*nQt - 1) 71 J 2яя
о
и, следовательно,
, 1 пОт rQt
А sin JFtL.- а =----------;
п па 2 2
nQt
" sin -г-
у - ------------------------------------ [cos (nQf + а") ~ cos (<o0f +
а") ].
" Я [(к - RU)
ЛСЙ"П ^ я (ш* - лО)
Яе*"М
Заметим также, что энергия осциллятора в резонансном случае растет
пропорционально t2.
6.46. Используя (4), (5) задачи 6.45, получим
ра = - Г F (Л e-**dt Г е~1*№-шй1 = J^L-e-ia^
2а J 2а J 2Ki
-"о -о"
и, следовательно,
-2 о (й>"Т)"
Отсюда ясно, что при мгновенном ударе (юот<1) или медленном включении
силы (<вот>1) передача энергии мала. Максимум передачи энергии
достигается при тх ^ У2/а0, Е (oo)max = nFl/male.
6.47. Исходное уравнение
X + 2\lx + ЩХ = -^2-008 со t т
