Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с вычисления интегральных операций.
Вычисление криволинейного интеграла векторного поля. Мы ограничимся тем случаем, когда путь интегрирования совпадает
86
Часть I
с некоторым участком координатной линии. Пусть, например, нам надо вычислить
J АН
где вектор А задан равенством (1), аг линия / — участок координатной ^-линии, причем на этом участке координата qx меняется в границах от а до Ь.
Для вычисления интеграла разобьем дугу I точками M1,
M8..... М/і-ії обозначим, кроме того, начальную и конечную
точки дуги через M0 и Mn; тогда
__ _ л—1 _ _
IA dlM= Iim 2 A (M1)A I1,
I max ІД^І-0 /->0
где All = MlMi4l. Заметим, что так как все точки M1 лежат на координатной ^-линии, то эти точки будут отличаться друг от друга только значениями первой координаты ^l; значения же координат q2 и qa остаются неизменными вдоль всей линии L Поэтому можно записать координаты точек M1 следующим образом: M^qu, qt, q9). Разность первых координат в точках
и M1 о означим Д<7і,/. Далее, векторы М,/И/+1 можно считать направленными по касательной к координатной линии / в точке M1; поэтому
All = АЩі+і = IAfyWj-Hl -Ix^H1(Ml)Aqu - ёх. Следовательно,
A(M1)- AI1 = I^1 (Mj ех + At (M1) I2 + A9 (Mi) е9\ -Hx (Mi)A^i t J1 =
= A1(Mt)-Hx(Ml)Aqij
л-1
и ІЛ (M) dl = Iim У! A (M1)A T1 =
Y tnaxI^iI'* 0 /*=о
л-1
= Iim ^Ax(Ml)H1(Ml)Aqu =
л—1
= Iim S Ax (qul, qt, qa)-Hx (qltl ,qit qa) Aqu.
тах|л^і ./J /e°
Под знаком предела стоит интегральная сумма для функции одного переменного q1 (две остальные координаты q2 и qa по-
SalaUamtMl
знание СеЗ'
§ ІВ 87
стоянны). Предел этой интегральной суммы равен определенному интегралу по переменному qt (в границах от а до b). Итак,
ъ
A(M) d I = J А (Яі* Яг і Яа) Hi (Яі> Яг* Яа)^Яі’ (2)
a
Это и есть формула для вычисления криволинейного интеграла, если путь интегрирования— некоторый участок координатной ^-линии. Аналогично записываются формулы и в том случае, когда путями интегрирования служат участки координатной ^2-линии или <7з-линии.
Если же надо вычислить циркуляцию по замкнутому контуру, составленному из дуг координатных линий, то мы разбиваем весь контур на участки, вдоль которых изменяется только одна из координат, вычисляем интегралы по этим участкам и затем складываем результаты.
Поток векторного поля через поверхность. Здесь мы ограничимся вычислением потока П через поверхность S, являющуюся частью координатной поверхности (например, частью ^з-поверхности). Общего случая произвольной поверхности S мы рассматривать не будем.
По определению потока, он равен Jj (? п) dS. В данном
случае, единичный вектор нормали к поверхности S совпадает с ± е3 (так как, по условию, S лежит на ^-поверхности). Выберем перед е8 знак плюс (т. е. будем вычислять поток в направлении вектора е8). Тогда
[А л) = (A^i “Ь At ^2 A8 * ^8 ~ A8.
Поэтому
П = |J (An)dS = JJ А8(я1, Яг, Яз) dS.
Для того., чтобы вычислить последний интеграл, разобьем поверхность S на элементарные площадки сетью координатных линий
Рис. 45
88
Часть /
(рис. 45). Тогда, переходя к интегральной сумме (и учитывая, что на поверхности S координата q3 постоянна), получим
П = ЯА,(<7і, q2, qs)dS= Iim A3(Mttk)ASitk. (3)
6' dlam AS. fc-»0
МП I I*
Здесь Mitk — точка пересечения двух координатных линий: t-ой ^-линии и &-ой <72-линии. Символом AS/,* обозначен криволинейный прямоугольник, стороны которого лежат на координатных линиях, а вершины находятся в точках Mitk; Mi+1, *; Mit *+ь Mi+\t k+i •
Обозначим координаты Af/.* так: Mitk (qi.t, ?2.л, 0а). а приращения координату и при переходе от к соседней вершине элементарной площадки AS/,* обозначим Aqitt и Д^г.л-Далее, заметим, что ASitk является (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка) прямоугольником со сторонами: Mttk Mi+itk и Mitk Mttk+\. Длина каждой из сторон легко вычисляется с помощью коэффициентов Ламе:
Mttk Mit ft-f-i ~ H1 (Mitk) Aqiti — Hl (<7i, /, qitk, q3) Aqitt
Mitk Mi+\tk c-і H2(qu, q2tk, qs) Д<72, a*
Поэтому
ASttk = Hl(qitt, ?2.*, Vs) (?1./1 ?2.*, ?3) Д<7ы Д^2.л-Подставляя это выражение в (3), получим
П — Iim ^l3(^i./, 42,к, Яз) H1 (qiti, q2,k, q3)X
"“хМ1)(-0 l k max Д q0 . -О
х H2(qiti, q2,k, q3) Aqitt Aq2tk.
В правой части этого равенства стоит интегральная сумма для функции двух переменных (у и q2); ее предел равен двойному интегралу по этим переменным. Для того чтобы расставить границы интегрирования в этом интеграле, надо знать, как изменяются координаты qx и q2, когда переменная точка пробегает область S. Пусть, например, при постоянном qt координата q2 пробегает все значения от 9(9,) до ф(<7,); пусть, кроме того, полное изменение убудет от а до b (рис. 46). Тогда, в соответствии с теорией двойного интеграла, мы можем написать:
Ь ф(<7,)
n = J I Аз [Qo Qs) HI [Qi. q*. q»)H2(qu q2, qa) dq2 dqx. (4)
a vWi)
SaliMausMl
знание безерэниц Ч*
§ 18
89
Формула (4) несколько упрощается, если область S ограничена координатными линиями; так, например, если q2 изменяется от с до d при любом (рис. 47), то
