Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
f Adl+ f Adl =
MMi NMt
<7»+Л<7» (
= - I Uw1
Qi I
-A1H1
~ і
<7і. <7, + Л<7». Qt Qt+bQt
?1
'd (AiHx)
Qi
Aqtdqi.
Qі. QttQt
Здесь мы применили формулу Лагранжа.
Далее, оценивая этот интеграл (так же, как мы это делали при вычислении дивергенции), найдем
S MT+ j Adl = -
MMi NMt Чг
Aqi Aq2,
где Mcp — некоторая точка на площадке MM1NM2 М.
SaliMausMl
з,чвмюбгзгрзішч
§J8__________________________________________________________ 97
Аналогично находим сумму интегралов по дугам M1N и Ma М:
$ Adl + f Adl = -iiMsll .л
MtN AflAf І мср
где Mcp-- какая-то точка площадки MM1 NMiM. Итак, вся циркуляция по замкнутому контуру такова:
AfAf1HvAftAf v Afcp 'Mq> /
Взяв отношение этой циркуляции к площади MM1 WM8 M и перейдя к пределу при Aql -> 0, Ag2 -*¦ 0, _ мы получим плотность циркуляции в направлении вектора еа.
Плотность циркуляции в направлении е3 равна
AfAfl^VAf1 лИ ^
Iim -------------------=
Lq 1-*0 Lqt -¦ О
Id(AiHi) I O(AlHi) \
\ % Lp~ ддш
= Iim * ич1
Afll —О HiHi-Lqi Lqi
Lqt-* О
_ 1 (OjAtHJ _ BjAiHiK
HiHi \ Dq1 Oq2 ) •
Здесь частные производные и коэффициенты Ламе вычисляются в точке М.
Это и будет проекция rot А на еа.
Аналогично находятся проекции rot А на остальные орты:
проекция ГО M на I1 — -JL- — д(ф^а)\
Hi Hi { dq2 dq9 J '
Проекция TOiA на ~вг = пKr — WjhA .
H9Hii Cq9 Oqi J
Поэтому
rot Л = ‘ 12?** - ?. +
HfHt [ dqt dqi J
, ГS(A1H1) _ Э(Л,Н,)1 - , _!_\d(A,H,) S(Zl1H1)I - ...
+ ад I dg, а„ J е> + H1H, --------щг J е>- №)
4 Ю. С. Очаи
98
Часть f
Это и есть формула для вычисления ротора в произвольной ортогональной системе координат.
В частности, в декартовой системе координат:
A = AxI + Ay ] + AJk,
rot Л - (*k _ "t)r+ (?* _ ^k)/+ (?- - а-?) А. (8а)
В цилиндрической системе координат для поля А = Агег+А9 е9 + 4- A^ez ротор вычисляется по формуле:
. 1 гаиУг) дАгл- (8б)
^ г [ дг дв \е*'
Здесь учтено, что Hr = I, H9= г, Hz = 1.
Наконец, в сферической системе координат
А = А9~е9 4- Ab ев 4- Azez и поэтому (если учесть, что H9 = I, He = р, H9 = psin©)
rot А = І ГаМїРЛІЕт _ ?M«j)l- +
р* Sinb I ав дф J (Sb)
,____I IdA9' aHypstn0)1- , _1_ГдИнр) __дАП-
р sin в [а <р др J н P L ар ав J 9 *
Пример 1. Вычислить ротор поля сил тяготения (CM. выше, стр. 94)
Применяя формулу (8в) и учитывая, что здесь проекции вектора F на орты таковы: F9 = — F0 = 0; F9 = 0, получим, что TotF = 0. Итак, поле F является потенциальным.
Пример 2. Вычислить ротор поля скоростей А точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью <о0 вокруг неподвижной оси.
Эту задачу мы уже решали с помощью декартовых координат (см. пример 2 на стр. 56). Если использовать цилиндрические координаты, вычисления проводятся проще.
ШЇаШаи$їШ
знание без іраниц \ ^
и 99
В данном случае A = Oye9 (см. стр. 94). Поэтому (если учесть, что Ar = 0, Ab= О, A9 = (о/) получим с помощью формулы (86):
rot А = -у-д • ~ег = 2to0*ez = 2со,
т. е. ротор равен удвоенному вектору угловой скорости.
Следует заметить, что скалярное поле div А и векторное поле rot А инвариантны относительно выбора системы координат. Это надо понимать следующим образом: хотя аналитические
формулы, позволяющие вычислить div А, различны в различных системах координат, однако все они определяют одно и то же скалярное поле: ведь значение дивергенции в каждой точке пространства определяется однозначно по заданному ист ходному полю А.
Аналогичное замечание имеет место и в отношении ротора поля А.
Восстановление потенциала векторного поля. Если векторное поле Л = A1C1 + А2е2 + Ajfia потенциально (т. е. rot A =s 0), то естественно возникает задача восстановления его потенциала иІЯі> Яг* Яа)' Это легко сделать, если учесть, что
я|<п. . 1 ди - . 1 ди — . 1 ди -
Sfadu-Hi" + 3ft 2 + «Г
Приравнивая составляющие этого вектора одноименным составляющим вектора А, получим
1 _ди __ . 1 ди _ - 1 ди А
H1 дЯ1 ~ ь Hi df, - Л»: Тй~Щь ~ А»'
откуда
W1 - W. = А>н" & - А‘н»
Интегрируя эти уравнения (так же, как мы это делали при восстановлении потенциала в декартовых координатах), получим и,
как функцию от qit q2, qa (с точностью до постоянного слагаемого).
Пример. Восстановить потенциал поля
А = 2р cos <р cos 0 е9 — р cos <р sin 0 +
+ (-PSin9Cige + -f ай-)*,.
г
100
Часть I
Применяя формулу (8в), найдем, что rot A s= 0. Следовательно, поле потенциально. Обозначив его потенциал буквой и и приравняв одноименные составляющие вектора А и вектора
„ дії - І ди - . 1 ди -
grad и _ -^et + __ев+
получим
= 2р cos <р cos 0; = — р2 cos ср sin 0;
= (-PSin9 ctge+ -J- Psine.
Из первого уравнения находим и= p2cos<pcos0 + /(0, <р). Далее, дифференцируя и по 0 и приравнивая результат к
—p'cos? sin 0, найдем-^- =0, откуда следует, что f не зависит от 0 (т. е. /(у,0) = А (9)). Далее, учитывая выражение для найдем, что Д (<р) = a* sin <р + С. Итак, окончательно
