Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
п={^-(А н2н,)\Мсе +^jt(AHlHa) -I- (A, Hi Ht) У Aft Д?2 Д?з-
M1
Cp
+
^alaHausrMl
знаниеЄеіераниц H
§ їв 93
Беря отношение этого потока к объему параллелепипеда и затем устремляя Aql, Aq2, Aq8 к нулю, получим дивергенцию в точке М:
div А ==
I-J-(AiHtHt) — -J- --.(AtHiHt) W -J- а—(WZa)I=
__ jjm Iftyi__________ytfCp дд2____________ytfCp Qgt___________IMcpf________
Afl^O HiHtHi-AgiAgiAgt
&Q% -+О
Итак,
* * - ++и
где все частные производные и коэффициенты Ламе вычисляют-
ся в точке М. Это и есть формула для вычисления дивергенции в произвольной системе координат.
В частности, если поле задано в декартовой системе координат:
A=Ax (х, у, z)• і + Ay (х, у, z) -7 + Аг(х, у, г). Ъ,
то
^J=4f + 4i-+4t- <5а>
Если поле задано в цилиндрической системе координат:
А = Ar(г, <р, z)e, + Av(г, <р, г)ё9 -f Az(r, <р, z)ez, то (учитывая, что Hr = I, H9 = г, Hz = 1) получим
div л = + ^ +Г (56)
Если поле задано в сферической системе:
A = Af (р, 0,9) с9 + Ан (р, 0, <р) є» + A9 (р, 0, <р) е9 ,
то (так как Hf = 1, //« = р, H9 --- psinft)
А• T 1 /aMp-Pa) . г, . ^ (Ан sin в) OA ) .. .
div А = —a- . ^ {—=?--sm © H-----------р H—-JL р I • (5в)
P8 sin в I др 1 дв 1 ' dtp 1 I
Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля сил тяготения, созданного массой т, расположенной в начале координат.
94
Часть I
Мы уже рассматривали это поле и выяснили, что его можно аналитически записать следующим образом (см. стр. 5—6):
F = _ tm(x^+y~i + »*) (б)
г»)2
или
"г 7 тЪ
F = ~~W
(6)
Первый способ аналитической записи данного поля позволяет, конечно, найти его дивергенцию в любой точке. Однако, как мы видели (см. стр. 36), это приводит к громоздким вычислениям.
Запишем это же поле с помощью сферических координат, учитывая, что et направлен вдоль радиус-вектора /?, и что поэтому
R = рер, а |/?| = р:
F _ WR _ Tfmp- _ Tm -
га* _ " ~ р* р'
Применяя к этому полю формулу (5в), получим
, a (-1T • P1) diDF=-p^W ¦ Щг* • Sine=^i5s —i—^--------------------— sin 8 = 0.
Итак, мы пришли к тому же результату, который мы получили ранее другим способом: дивергенция поля тяготения, образованного массой т, равна нулю (всюду, кроме той точки, где расположена масса т).
Пример 2. Вычислить дивергенцию поля сил скоростей А точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш0 вокруг неподвижной оси.
Мы уже изучали это поле (см. выше, стр. 43) и нашли, что оно равно [ш Я], где ш — вектор угловой скорости (направленный по оси вращения и численно равный (D0)1 а /? — радиус-вектор точки.
Рассматривая это поле в цилиндрической системе координат и принимая ось Oz за ось вращения, получим:
95
Это равенство можно получить, если учесть, что скоростьвра-щающегося тела в каждой точке направлена по вектору ev и численно равна ю0г.
Найдем теперь div А (используя формулу 56):
div Л = div {(Oori9) = О,
jaK как и>0 г не зависит от <р.
Итак, данное поле является соленоидальным.
Ротор в криволинейных координатах. Для того чтобы вычислить ротор векторного ПОЛЯ
А = AlIgl, q2, Qs) C1 + A2JiCjx, <7г* Qs) ^2 + Aa(qx, q2, q^) ea,
достаточно найти его проекции на орты elt е2, еа. Найдем, например, проекцию ротора в точке M на вектор еа. Как известно, проекция ротора на какое-либо направление равна плотности циркуляции по-ля А в данном направлении. Для под-счета плотности циркуляции в направ- л.
лении еа вычислим отношение цирку- \
ляции по малому замкнутому контуру, окружающему точку Mt к площади N4 области о, ограниченной этим контуром.
При этом область о должна быть рас-положена на поверхности, нормаль к 1
которой в точке M направлена вдоль рис. 49
вектора еа.
В качестве этой поверхности удобнее всего принять координатную поверхность qa = const, проходящую через Mt а в качестве области о — область MM1 NM2t ограниченную координатными линиями (рис. 49).
Если координаты точек М, Mu N, M2 таковы:
M(qt,q2,qay, M1 ^ + Aqx, q2, qa)\ N (qx + Aq1, q2,+Aq2, qa)\
M2(qlt q2 + Aq2, qa),
то площадь области о приближенно вычисляется по формуле: о ^ MM1 • MM2 « H1Aq1 • H2Aq2 = H1 H2 Aq1 Aq2,
где коэффициенты Ламе H1 и H2 вычислены в точке М.
96
Часть /
Вычислим теперь циркуляцию по контуру MM1 NM2M (направление обхода контура выбирается так, чтобы оно было согласовано с направлением нормали):
f Adl = J Adl + \ Adl+ \м1 + \ AdL
MMxifMtM MMt MiN NMt MtM
Все интегралы в правой части равенства взяты по дугам координатных линий. Поэтому их можно вычислить по формулам (2) (см. выше, стр. 87). Вычислим, например, интегралы по дугам MM1 и NMi,
<7»+д<7і
Г Adl =J A1 (qlt qit q3) H1 (qlt q2, q3)dqt,
MMi Q1
і
AdT = — J Ai (qlt q2 + Aq2, q3) H1 (qx, q2 + Aq2, qs) dqx.
Mt Qt
В процессе интегрирования в обоих этих интегралах вторая и третья координаты постоянны. Знак «минус» перед вторым интегралом объясняется тем, что при движении по дуге NMi координата qt убывает.
Сложим почленно эти два равенства:
