Методы математической физики - Очан Ю.С.
Методы математической физики
Автор: Очан Ю.С.Издательство: М.: Высшая школа
Год издания: 1965
Страницы: 384
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Скачать:
Ю. С. ОЧАН
МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСНОЙ
ФИЗИКИ
Допущен о Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО жВЫСШАЯ ШКОЛА» M ОС KB А —1966
ЧАСТЬ I
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ (математическая теория поля)
§ L Скалярные и векторные поля
Математическая теория поля изучает скалярные и векторные поля. Говорят, что в области V задано поле, если каждой точке этой области соответствует определенное значение некоторой величины — числовой или векторной.
Если в каждой точке рассматриваемой области задана величина, принимающая числовые значения, то поле называется скалярным, если же в каждой точке области задан вектор, то поле называется векторным.
Примеры. 1. Рассмотрим распределение температуры внутри некоторого помещения. Эта температура может оказаться различной в различных точках (например, высокой в тех точках, которые находятся вблизи от источников тепла, и более низкой вдали от них). Распределение температуры внутри помещения является примером скалярного поля. В каждой точке здесь задана скалярная величина — температура в этой точке.
2. Рассмотрим неоднородное твердое тело. Если в каждой его точке определена плотность*, то внутри тела V задано скалярное поле. Величиной, определенной в каждой точке поля» является плотность.
3. Рассмотрим поле сил тяготения, образованное некоторым притягивающим телом.
* Плотностью тела в данной точке M называется предел, к которому стремится отношение массы небольшой области, окружающей точку My к объему этой области; предел берется при стремлении диаметра этой области к нулю: в точке M плотность равна Iim — (рис. 1).
diam v-*0 V
Если плотность тела во всех точках одинакова, то тело называется однородным, если же различна — неоднородным.
1*
4
Часть I
Пусть в начале координат помещено некоторое тело массы ю (будем считать его материальной точкой массы т). Тогда единичная масса, помещенная в произвольной точке пространства,
будет притягиваться к началу координат с силой, равной
(где Y — гравитационная постоянная, а г — расстояние от единичной массы до начала координат; рис. 2). Таким образом, в каждой точке С, лежащей вне притягивающей массы, определен некоторый
вектор силы F, направленный к началу координат и численно равный В этом случае имеет место векторное поле; оно задано во всем пространстве, кроме начала координат (в начале координат вектор F не определен).
4. Рассмотрим еще один пример векторного поля.
Пусть некоторая часть пространства (например, русло реки) заполнена движущейся жидкостью. Тогда в каждой точке пространства определен вектор скорости той частицы жидкости, которая попала в эту точку. Этот вектор может зависеть от времени (иными словами, может оказаться, что скорость одной частицы, попавшей в эту точку, отличается от скорости другой частицы, позднее попавшей в ту же точку). Тогда говорят, что наше поле является нестационарным. Если же скорость в каждой точке зависит только от положения этой точки, но не зависит от того, какая частица жидкости попала в эту точку (иными словами, скорость в данной точке не изменяется с течением времени), то говорят, что поле является стационарным.
Вообще скалярное или векторное поле называется стационарным, если рассматриваемая величина зависит только от положения точки в пространстве (но не зависит от времени). Если же рассматриваемая величина зависит также и от времени, то поле называется нестационарным.
В дальнейшем мы будем изучать только стационарные поля. Заметим, однако, что если дано нестационарное поле, то, рас-
5
сматривая его в какой-нибудь определенный момент времени, мы получаем как бы моментальный фотографический снимок этого поля. Это будет стационарное поле.
Стационірное поле обозначается так: и ¦= f (M) (или и = =: ср (M), и = ф (M) и т. д.). Здесь M — переменная точка пространства, и — число (значение скалярного поля в точке М). Векторное поле мы будем обозначать A =A (M), где, как и раньше, M — переменная точка, а А — вектор (значение векторного поля в точке М).
Как же задать стационарное поле аналитически?
Если это поле является скалярным, то задание поля равносильно заданию обыкновенной функции трех переменных:
u = f{x,y,z). (1)
Действительно, здесь каждой точке* M (х, у, z) из области определения функции / соответствует определенное числовое значение переменной и, а это и означает, что в этой области задано стационарное скалярное поле.
Если поле является векторным, то для того, чтобы его задать, надо знать все три проекции переменного вектора на оси координат. Так как эти проекции, в свою очередь, зависят от положения точки в пространстве (т. е. от координат х, у, г), то векторное поле может быть задано равенством:
А = P (xt у, 2)7 + Q(*, у, г) і -f R (х, у, г)\ (2)
где Р, Q, R — скалярные функции от трех переменных х, у, г.
Рассмотрим в качестве примера поле сил тяготения (см. стр.
