Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
и = р* cos <р cos 0 + а2 sin <р + С.
? /р. Дифференциальные операции второго порядка
Вычисляя градиент скалярного поля, мы производим над этим полем дифференциальную операцию первого порядка. Аналогично этому можно говорить о дифференциальных операциях первого порядка над векторным полем (это операции взятия дивергенции и взятия ротора). Каждая операция первого порядка приводит к новому полю — векторному или скалярному. Если над ним произвести снова операцию первого порядка, то над исходным полем будет произведена операция второго порядка.
Изучим, какие возможны операции второго порядка.
Пусть исходное поле было скалярным (поле и). Над ним возможно произвести лишь одну дифференциальную операцию grad и. Новое поле оказалось векторным. Над ним можно произвести одну из двух операций: взять дивергенцию или ротор. Итак, над скалярным полем и можно произвести следующие две различные операции второго порядка:
div grad и и rot grad и.
SaiaHamfMi
і» 101
Исследуем каждую из них:
1) rot grad м = 0. Это следует из доказанной ранее теоремы
о том, что поле grad и является безвихревым (см. § 14);
2) div grad и\ эта операция приводит, вообще говоря, к новому скалярному полю. Операция второго порядка div grad и называется «оператором Лапласа» или «лапласианом», и обозначается коротко /л и:
/я\и = div grad и
(букву «л» внутри Д мы поставили для того, чтобы не смешивать с обозначением для приращения функции. Однако обычно ее не ставят в обозначении лапласиана, записывая его так: Ди. В большинстве случаев по смыслу бывает ясно, что подразумевается под Д и — лапласиан или приращение).
Вычислим лапласиан скалярного поля и при задании поля в различных системах координат.
а) В декартовой системе координат: и=и(х, у, г),
grad *.Г + -*7+ dIv grad.--?(-?) + -?(?)+ ?(-?).
т. е.
/ч д*и д2и . д2и ..
/-^и ~ дх* ^ ду* дгГ '
б) В цилиндрической системе координат: и = и(г, <р, г).
гу ___j ди - , 1 ди - , ди -
Здесь grad и er-\ - е9 -f- ~fa~cz'
Беря дивергенцию этого векторного поля, находим лапласиан и:
/n 1 Г д (т ди \ , 1 д*и , .. д*и 1 /1ХЧ
U~ г [dr ( dr ) г а«р« + Г дгя J* ^16)
в) В сферической системе координат и~и(р, 0, 9). Проводя аналогичные вычисления, находим
^'u=^[sine-|;(-f-pl) + sine) <1в)
Наконец, в общем случае, в произвольной ортогональной системе координат, лапласиан поля u = u(qlt q2, q3) можно вычислить по следующей формуле:
/_\ .. і Г д /я,H9 ди \ d (H1H9 ди \ a (H1H9 au Yi HlHtH9 |а?Д H1 dqx dq2{ H2 dq% J ^ dq9[ H9 dq9)\
0)
г
102
Часть J
Отсюда, как частные случаи, легко могут быть получены все выведенные выше формулы для лапласиана в конкретных координатных системах.
Скалярное поле, лапласиан которого в некоторой области тождественно равен нулю, называется гармонической функцией.
Примеры гармонических функций:
1. и= r— JL.=- ; в том, что эта функция является
гармонической, можно убедиться, непосредственно вычисляя лапласиан, в декартовой системе координат; однако здесь проще вычислить лапласиан, предварительно записав это поле с помощью сферических координат: и =-у. Тогда и, в силу фор-
мулы (1в), получаем сразу /д\ U = 0.
2. Любая линейная функция от декартовых координат: и = Ax + By + Cz + D является гармонической.
Следует заметить, что термин «гармоническая функция» не совсем точен. Правильнее было бы говорить «гармоническое. скалярное поле» или «гармоническая функция точки». Если говорить не о функции точки, а о функции трех независимых переменных, то она может оказаться гармонической при одном истолковании этих переменных и не гармонической—при другом. Так, например, функция трех переменных и = aqt+Cq9 (где а, Ъ, с — постоянные числа) является гармонической, если Qv Яг* Яв — декартовы координаты точки; но эта же функция не является гармонической, если ^1, ^2, q3 — сферические координаты точки, т. е. если q1 = р, q2 = 0, q3 = <p (в том, что функция и — ар + Ь® + СФ не является гармонической, легко убедиться непосредственной подстановкой в выражение для лапласиана 1 в).
Итак, говоря в дальнейшем, что та или иная функция является гармонической, мы будем подразумевать, что скалярное поле, задаваемое этой функцией, является гармоническим (т. е. что лапласиан этого поля тождественно равен нулю).
Гармонические функции очень важны в приложениях. Некоторые общие свойства гармонических функций будут изучены позднее (часть 3, глава 4).
Рассмотрим теперь дифференциальные операции второго порядка в векторном поле А.
Операций первого порядка здесь две: div А и rot А.
Над скалярным полем div Л можно произвести только операцию взятия градиента. Это приводит нас к операции второго порядка grad div А.
103
Над векторным полем rot А можно произвести операции div и rot; это приводит нас еще к двум операциям второго порядка: div rot А и rot rot А.
Операция div rot А приводит к тождественному нулю, каково бы ни было векторное поле А, лишь бы составляющие вектора А (при разложении А по ортам) были достаточное число раз дифференцируемы. Проверить это можно непосредственным вычислением, записав А в какой-либо системе координат, например в декартовой, и подсчитав div rot А. Однако убедиться в том, что div rot А = 0, можно и без вычислений, следующим образом.
