Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
J- + .1' - J ¦
Iim^' Vo, Zo Xt Yt Z X01 у0»
dX - ІЇГ “Г -
+л, к, г '• •
J* Pdx -ф- Qdy ^- Rdz ¦
= ---------------,--------—- .
А-*0 ".
* Координаты точки M (конца пути интегрирования) обозначим прописными буквами, чтобы не смешивать с текущими координатами перемещай точки на кривой L. •
3*
68
Часть I
Для того чтобы подсчитать последний интеграл, напишем параметрические уравнения отрезка MM1:
х = х, у ~ Y, z — Z,
причем переменный параметр х пробегает значения от X до X -f- h\ величйны у и z вдоль отрезка MM1 постоянны.
Рис. 34
Применяя способ вычисления криволинейного интеграла, получим
X+h, Y, Z X+h
J Pdx + Qdy + Pdz- J P (XjYtZ) dx.
XtY, Z X
x+h.
J P(x, Y,Z)dx Поэтому ^ =Um ^-----------------h--------— .
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем и переходя к пределу при ft-*- 0, получим
1?- = Iim РІ^Ь2)МЛЛ~.Х). = IimP(| Yt 2) = P(Xt Yt Z). дХ л-0 h h-*Q
Здесь ? заключено между Ar и X + h и, следовательно, стремится к X при Л -V 0. При переходе к пределу мы учли непрерывность функции Р.
69
Следовательно,
grad9 = * + ^b = P i + Qj +Rk = A.
Таким образом, мы доказали, что поле А является потенциальным. Одновременно мы нашли способ построения потенциала
поля А: есл^ A — Pi + Qj + Rk (причем rot А s= 0), то потенциал вектора А вычисляется с помощью следующего криволинейного интеграла:
где (X0, yQt z0) — произвольная фиксированная точка. Ясно, что точку (х0, у0, Z0) можно выбирать по-разному; таким образом, мы получим различные функции 9 (X, Yt Z). Однако все они отличаются друг от друга только постоянным слагаемым.
С вопросом о разыскании потенциала векторного поля тесно связан вопрос о восстановлении функции трех переменных по ее полному дифференциалу.
Пусть дано дифференциальное выражение Pdx + Qdy -f- Rdz, где Р, Qt R — непрерывные функции трех переменных с непрерывными частными производными. Из предыдущей теоремы сразу вытекает следующий результат:
Теорема 2. Для того чтобы выражение Pdx + Qdy + Rdz было полным дифференциалом некоторой функции <р(х, у, z), необходимо и достаточно, чтобы ротор векторного поля P і + + Qj + Rk был тождественно равен нулю.
Доказательство этой теоремы основано на том утверждении, что если dtp == Pdx + Qdy -J- Rdzt то grad 9 = Pi+ Qj + Rkt и, обратно, если grad ср — Pi + Qj + Rkt то dy> = Pdx + Qdy -f Rdz.
Отсюда виден и способ восстановления функции по ее полному дифференциалу: для того чтобы найти 9 (х, у, z), достаточно применить выведенную выше формулу (1).
Заметим, что формула (1) дает нам простой способ вычисления криволинейного интеграла от полного дифференциала Pdx + Qdy -J- Rdz в том случае, когда известна функция 9 {х, у, z)t дифференциал которой равен Pdx + Qdy -f Rdz.
Pdx + Qdy + Rdzt
(1)
70
Часть I
Пусть надо вычислить
J Pdx + Qdy -f Rdz.
Xi. Vi, Zi
Так как, по условию, функция 9 (лг, у, г) является потенциалом векторного поля Pi + Qi + Rk. то она может отличаться только на постоянное слагаемое от функции
х.у.г
J Pdx -f- Qdy -f Rdz:
Хг, Vi,Z1
х,у,г
9(х, у, z) +C= j Pdx+ Qdy+ Rdz.
Xt, Vi, Zi
Определить С легко, если в качестве точки (х, у, z) взять (*i. Уъ ^i):
Xu Vu Zi
9(*1» Уі>гд + С = J PdA: -f- + Rdz = 0,
JCi, Vi, Zi
откуда С = — 9 (xlt ylt Z1).
Итак, для всех точек (х, у, z) справедливо равенство:
X, у, Z
9 (*. */. г) — 9 (xlf , Z1) = J Pdx Qd*/ + Rdz.
Xu Vu Zi
Оно остается верным, если в качестве (х, у, z) взять точку (¦^21 Уъ* 2%)'
^2» Уъ* 2j|
J Pdx + Qdy -f Rdz = 9 (х2, у2, z2) — 9 (xlt у1г Z1).
Xu У и Zi
і
Мы получили формулу, которая является аналогом известной формулы Ньютона-Лейбница.
Интеграл в границах от точки M1 до точки M2 от полного дифференциала функции 9 (х, у, z) равен разности значений этой функции в точках M2 и M1.
В заключение рассмотрим физический смысл теорем, доказанных в этом параграфе.
Как мы видели, работа (см. пример 2 на стр. 65), совершенная полем сил тяготения при перемещении точки по замкнутому
71
контуру в односвязной области, равна нулю. Аналогичным Свойством обладают также некоторые другие силовые поля (например, электростатическое поле). Такие силовые поля обладают тем свойством, что их ротор равен нулю (см. § 14). Каждое из таких полей является полем градиентов для некоторого скалярного поля <р(х, у, г) (определенного однозначно с точностью до постоянного слагаемого). Это скалярное поле и будет потенциалом данного силового поля. Разность значений потенциала в точках M2 и M1 дает величину работы, совершаемой силами поля при перемещении точки единичной массы из M1 в M2 (физики называют разность значений потенциала (р(M2) — V(M1) коротко «разностью потенциалов»).
¦ Пример 1. Найти потенциал векторного поля
А = (3*а + 2ху) і 4- (х2 + 2г/ + г)/ + (у + 3z2) k.
Легко проверить, что это поле является безвихревым (гоЫ—0). Следовательно, оно имеет Потенциал (р. Для того чтобы его найти, достаточно вычислить криволинейный интеграл:
