Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(1/3) р и N = 2р при р-м разбиении, поэтому
Следовательно, фрактальная размерность канторовского множества меньше,
чем его геометрическая размерность, - условие, необходимое (но не
достаточное) для распознавания аттрактора как компрессора информации.
Наконец, следует заметить, что построенное выше канторовское множество
обладает свойством масштабной инвариантности, т. е. все множество,
заключенное между 0 и 1, выглядит точно так же, как, например, его часть,
заключенная между 0 и 1/3, если последнюю рассматривать под трехкратным
увеличением.
Нам остается выяснить, будет ли канторовским множество состояний,
остающееся на единичном отрезке в точке накопления ас = 3,57
логистической кривой.
Коэффициент подобия ц Фейгенбаума показывает, что на интервале 0, 1 в
критической точке накопления ас = 3,57 мы имеем множество
непересекающихся интервалов с самоподобными характеристиками. В этом
отношении наше множество похоже на канторовское, и, как показывают
вычисления, его фрактальная размерность равна ~ 0,538 (см. разд. 6.4).
Однако сам по себе тот факт, что фрактальная размерность множества меньше
единицы еще не свидетельствует о его принадлежности к аттракторам. Для
этого нам необходимо исследовать еще один параметр, который служит мерой
степени случайности, порождаемой детерминистическим уравнением, -
параметр, связанный с орбитальной устойчивостью.
Орбитальная устойчивость данного цикла зависит от поведения соседних с
ним траекторий. Если точки вблизи орбиты сходятся к ней, то такая орбита
устойчива относительно малых возмущений и называется локально устойчивой.
Орбита притягивающая, т. е. асимптотически устойчивая, если в среднем она
локально устойчива. В случае одномерных отображений эти критерии
устойчивости оцениваются непосредственно по наклону кривой, задающей
отображение, в точках, посещаемых траекторией. В частности, если угловой
коэффициент касательной к кривой в точке по абсолютной величине меньше
единицы, то соседние точки при следующей итерации отображения приблизятся
к данной точке. Таким образом, асимптотически устойчивая
348
Глава 6
траектория требует, чтобы среднее угловых коэффициентов касательных вдоль
траектории было меньше единицы. Если среднее больше единицы, то
траектория неустойчива; следовательно, малые начальные отклонения от
траектории будут возрастать при итерации отображения. Иначе говоря, если
средний угловой коэффициент касательных больше единицы, то это
свидетельствует о том, что поток порождает разнообразие (потенциальную
информацию); если же средний угловой коэффициент касательных меньше
единицы, то это свидетельствует о сжатии информации и диссипации
порожденного разнообразия, т. е. об убыли информации.
6.3.3. Понятие показателей Ляпунова для удвоения периода и
хаотических режимов
Чувствительность к малым флуктуациям, т. е. некоторая исходная
неопределенность в начальных условиях (в задании или измерении состояния)
имеет решающее значение для характеристики поведения динамической
системы. В таких случаях начальная неопределенность экспоненциально
возрастает со временем до тех пор, пока следующее состояние системы не
становится непредсказуемым. Информация о начальном состоянии утрачивается
за конечное время, и по истечении этого времени (вычисляемого в
приводимых ниже конкретных примерах) система становится практически
непредсказуемой. Чувствительность к начальным данным может считаться
одной из основных характерных особенностей хаоса. (Вспомним хотя бы наш
"предварительный" пример в разд. 2.3.2.)
Параметром, позволяющим судить о средней локальной устойчивости или о
скорости, с которой новая информация порождается потоком, либо, наоборот,
о скорости, с которой утрачивается информация о начальном состоянии,
является показатель Ляпунова К. Изменение информации за одну итерацию при
отображении, задаваемом функцией F{x), вычисляется по производной dF/dx
по формуле
/ = log2 -^г бит. (6.3.26)
Если \dF/dx\< 1, то отображение в данной точке действует как сток
информации, если \dF/dx\>l, - как источник информации.
Если Р(х)-асимптотическое распределение вероятности траектории при
заданном значении параметра а, то среднее изменение количества информации
</> есть характеристический показатель Ляпунова при данном значении
управляющего па-
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
349
раметра:
(I) = X{a)=\p{x)\og\^\dx. (6.3.27)
о
Если поведение траектории внутри аттрактора предполагается эргодическим,
то существует альтернативная форма показателя Ляпунова Х(а), а именно
где N - число итераций, претерпеваемых траекторией при отображении.
Вычисление асимптотического распределения вероятности для данной
траектории производится следующим образом. Мы произвольно выбираем
некоторую начальную плотность вероятности Рi(x) (например, предполагаем,
что вероятность всюду равна единице) на интервале. Значение ее первой
итерации Рг(х) соответствует первоначальной Р\{х), преобразованной под
