Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Существуют ли в принципе такие структуры, например, на нормированном
интервале [0,1]? Существуют. Хорошо известным примером таких структур
может служить канторовское множество, представляющее собой нечто среднее
между конечным множеством точек и непрерывной кривой (рис. 6.11).
Рассмотрим замкнутый отрезок [0,1], разделим его, например, на три равные
части и выбросим среднюю часть, оставив концы
334
Глава 6
1/3 и 2/3. Повторим эту процедуру бесконечно много раз (на втором этапе
мы выбросим отрезки [1/9, 2/9] и [7/9, 8/9], но оставим их концы). В
результате мы получим нерегулярное бесконечное несчетное и несвязное
множество точек меры нуль. В последнем нетрудно убедиться, вычисляя
полную длину дополнения, т. е. длину выброшенной части отрезка [0, 1].
11 1 S.
9 9 9 9
'S////////SSS/SSSSSSSSS/SS////
1 2.
3 3
Рис. 6.11. Классическое канторовское множество ("черно-белое",
симметричное).
Длина выброшенной части равна
ОО
19 суП ч-, суп
! + }+-•• +11тг+...=11!тг=1. (6.2.16)
п=О
Соответствующий (пока все еще гипотетический) аттрактор в трехмерном
пространстве не является ни замкнутой кривой, ни поверхностью с
определенной евклидовой размерностью. Это скорее незамкнутая
несамопересекающаяся кривая, заключенная в конечной подобласти
пространства состояний и образующая в этой подобласти бесконечное
множество двумерных листов. Эта кривая "посещает" эти листы нерегулярно и
имеет вдоль заданного направления по крайней мере на одном из листов
сечение Пуанкаре, которое является канторовским множеством или напоминает
его по структуре.
6.3. Странные аттракторы
6.3.1. Одномерные отображения на отрезке.
"Логистическая" модель
Мы начнем на этот раз не с системы трех связанных нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений, а с одного нелинейного разностного уравнения
"логистического" типа, например,
Xt+1 = aXt( l-Xt), 0<1,<1. (6.3.1)
Как мы увидим в дальнейшем, уравнения такого типа очень хорошо описывают
одномерное отображение с одним максимумом ("одним горбом") в сечении
Пуанкаре некоторых весьма интересных трехмерных "странных" аттракторов.
Однако пока мы будем предполагать, что наша динамическая система описы-
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
335
вается только разностным уравнением (6.3.1). К числу примеров физических
систем, описываемых уравнением (6.3.1), относятся и модели популяций с
перекрывающимися поколениями. Основной вопрос в задачах такого рода
сводится к оценке п-го поколения по популяции первого поколения. Так как
мы впервые встречаемся с дискретными динамическими системами, наше
исследование (разностного уравнения (6.3.1)) естественно начать с
выяснения критериев устойчивости стационарных состояний, или в общем
случае стационарных решений таких систем. В логистическом уравнении
F(Xn) = Xn+l = aXn( 1-Хп) (6.3.2)
величина F(Xn) достигает максимума при Хп = 1/2, причем
^макс=Т, 1<а<4.
Стационарное состояние системы (6.3.2) (т. е. значения, к которым
сходятся размеры будущих популяций) определяются как точка (или точки), в
которых прямая, проходящая через начало координат под углом 45° к
горизонтальному направлению, пересекает параболу F(Xn). Таких точек две:
одна в начале координат
Хп = о, (6.3.3)
другая - для которой
Хп+1 = Хп = аХп( 1~Хп),
или
Хп=1-±. (6.3.4)
В общем случае стационарные состояния являются решениями уравнения Xn =
F(Xn) на интервале [0, 1].
Исследуем теперь устойчивость стационарных состояний. До сих пор критерии
устойчивости были установлены для систем, наблюдаемых в непрерывном
времени. Для систем, наблюдаемых "стробоскопически", т. е. в дискретные
моменты времени, ситуация изменяется: чтобы увидеть точно, как это
происходит, запишем уравнения линеаризованной континуальной ("сплошной")
системы для (малых) возмущений Xi(t) относительно данного стационарного
состояния
d. N
-А = (ie 1, ..., N) (6.3.5)
в виде
N
Xi (t + т) - Xi (/) = т ? a"Xj, (6.3.6)
i=i
336
Глава 6
где N- число степеней свободы системы, ац= (dfi/dXj)t и т - промежуток
времени между двумя последовательными наблюдениями. Коэффициенты
взаимодействия в (6.3.6) точно такие же, как в континуальной системе, т.
е. являются элементами матрицы взаимодействия А континуальной системы.
Систему из N уравнений (6.3.6) можно записать более компактно в виде
х (/ + т) = Вх (/), (6.3.7)
где теперь элементы Ьц матрицы взаимодействия В размером N X N
определяются соотношениями
Ьц = та",- + б,-/,
или
В = тА + I, (6.3.8)
где I - единичная матрица:
1 0 0 . . 0
0 1 0 . . 0
1 = 0 0 1 . . 0
. О 0 0 . . 1
Полагая хi(t) ~ (ki)t/x, мы получаем с учетом того, что х(^ + т) = Ях(/),
вместо уравнений (6.3.7) систему уравнений
Кх (/) = Вх (/). (6.3.9)
Собственные значения К мы находим, решая характеристиче-
ское уравнение
det (В - AI) = 0. (6.3.10)
Это уравнение отличается от характеристического уравнения
континуальной системы. В случае дискретной системы для устойчивости
стационарного состояния необходимо и достаточно, чтобы вещественные части
