Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 131

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 187 >> Следующая

достигает уровня один бит за итерацию, когда отображение становится
строго "два-к-одному"-значным, т. е. когда а-*-4. Каскадам периодических
режимов с более длинными периодами соответствуют окна с отрицательными Я.
Настало время, прежде чем мы займемся исследованием возможных соотношений
между характеристическим показателем Ляпунова и фрактальной размерностью
отображения, изучить "нечто реальное" - трехмерный странный аттрактор и
попытаться найти дополнительные подходящие параметры для характеристики
его динамического поведения, в особенности его сжимающих свойств.
Напомним, что такие динамические системы интересуют нас сейчас только как
системы обработки информации. Поэтому наша цель состоит в том, чтобы
понять, каким образом такие "устройства", как странные аттракторы,
порождают и рассеивают, т. е. обрабатывают информацию. Мы предполагаем,
что в общем случае информация порождается каскадом бифуркаций, приводящих
к нарушению симметрии, или каскадом итераций, приводящих к более высокому
разрешению. При большем разрешении те типы внутренних микроскопических
шумов, которые были размыты, когда интегрирование производилось по
достаточно широким "окнам" в пространстве и времени, начинают заметно
флуктуировать, и завершается это "проявление" шумов переходом
(микрофлуктуаций) с микроскопического на макроскопический иерархический
уровень. Именно такой переход порождает новые характеристики (наряду с
потоком в фазовом пространстве) динамической системы, обладающей странным
аттрактором, - информацию и энтропию.
6.3.4. Типичный трехмерный странный аттрактор. Модель Лоренца
Комбинация чувствительной зависимости от начальных условий с приближенным
значением этих начальных условий приводит к невозможности точных
долговременных прогнозов относительно эволюции системы, состоящей даже из
трех нели-
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
353
нейно связанных переменных. С практической точки зрения одной из наиболее
чувствительных систем следует считать атмосферу. Лоренц в 1963 г.
высказал предположение [6.11] о том, что динамика атмосферы весьма
чувствительно зависит от начальных условий. Из этой гипотезы вытекают
самые серьезные следствия для предсказания погоды, даже если бы нам
удалось существенно усовершенствовать метеорологические модели и сбор
данных.
Лоренц обнаружил, что, сильно обрезав уравнения Навье- Стокса
(описывающие систему с бесконечным числом степеней свободы), можно
получить нелинейную систему всего лишь с тремя переменными, сохраняющую
много характерных особенностей исходной системы. Эту "сжатую" модель мы
намереваемся теперь рассмотреть более подробно, так как она оказалась
представительным примером трехмерных систем, обладающих странными
аттракторами и невероятно богатым репертуаром поведения.
Итак, рассмотрим систему
где а, г и Ь - управляющие параметры, физический смысл переменных X, Y и
Z для нас сейчас не имеет значения. Зафиксируем параметр b (такой случай
встречается в ряде гидродинамических приложений) и исследуем динамику
модели Лоренца (6.3.34), изменяя (вещественные и положительные) значения
параметров о и г.
Как обычно, мы начинаем с исследования простейших сингулярностей, т. е.
стационарных состояний, и анализа их устойчивости (по линейному
приближению). Система (6.3.34) имеет стационарные состояния
Линеаризуем систему Лоренца относительно каждого из этих двух
стационарных состояний, т. е. положим X = X*-\-x{t),
Для стационарного состояния (а) мы получаем систему уравнений
\L = J2L = -y + rx-xz,
4L = -bZ + XY,
(6.3.34)
а) x; = f; = z; = о,
б) Z* = F* = ± У&(г- 1), Z\ = r- 1.
Y=Y*+.y(t), Z = Z* + z{t).
(6.3.35)
354
Глава 6
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид
а - л г О
а
- А- 1 О
О
О
Ь - Х
или
(Ь + Х) [Х2 + (а+ 1)1 +0(1-01=0,
(6.3.36)
где X--собственные значения матрицы взаимодействия.
При г > 0 характеристическое уравнение имеет три вещественных корня. При
г < 1 все три собственных значения отрицательны, поэтому стационарное
состояние (а) устойчиво. При г > г с = 1 одно собственное значение
становится положительным, происходит бифуркация, и состояние (а)
становится седловой точкой в трехмерном пространстве; тем не менее это
состояние ведет себя в двумерном пространстве как устойчивое стационарное
состояние.
Для стационарного состояния (б) линеаризованная система имеет вид
- = о{у - х),
dx
dt
dz
dt
dy
dt
- x - у - л/Ь(г - 1)
= ^/b(r- 1 )(x + y) - bz.
(6.3.37)
Ей соответствует характеристическое уравнение - а - X о О
j (tm)- j Л/Ъ(г_ 1)
л!ь(г - 1) л/Ь(г
= 0,
или
1) -Ь-Х + (<т + b + 1) X2 + b]{a + r)-X + 2bo(r-l)= '0. (6.3.38)
При г > 1 произведение корней уравнения (6.3.38) есть отрицательное
вещественное число, а это означает, что по крайней мере один корень,
например А,ь вещественный и отрицательный, а два других (Х2, Х3) либо
вещественные и оба одного и того же знака, либо комплексно сопряженные. В
окрестности г ^ г с ~ 1 вещественные части собственных значений (Х2, Хз)
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed