Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивому предельному циклу и тем самым снова "инжектирует" траекторию
в окрестность старой неподвижной точки.
Из-за некоторых случайных сбоев в процессе инжектирования в окрестность
бывшей неподвижной точки канал не всегда оказывается покрытым на всем
своем протяжении, и могут возникнуть некоторые расхождения в
продолжительности "ламинарных" интервалов. Резюмируя, мы можем
утверждать, что перемежающийся режим есть следствие сдвига параболической
части отображения Пуанкаре (при увеличении управляющего параметра), в
процессе этого сдвига она сначала пересекается с биссектрисой, затем
касается биссектрисы и, наконец, проходит вне ее, не имея с биссектрисой
точек пересечения.
360
Глава 6
Рис. 6.20. Примерный вид одномерного отображения аттрактора Лоренца на
плоскости YZ, поясняющий условие возникновения режима перемежаемости.
а б
Рис. 6.21. Подробные условия возникновения режима перемежаемости. П.ц. на
рис. 6.21,а означает "предельный цикл".
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
361
6.3.5. Скорость производства информации аттрактором Лоренца
Чтобы вычислить количество информации, порождаемой аттрактором Лоренца
при сг = 10, 6 = 8/3, г = 28, построим сначала отображение Пуанкаре на
проекции этого аттрактора на плоскость ZX. Для этого проведем сечение,
трансверсальное потоку, и отметим последовательные прохождения через
максимум, например, в направлении оси Z. Так как аттрактор Лоренца
симметричен относительно преобразования х-*--х, у->¦-у, z-*-z, сечение
одного "крыла" порождает такое же отображение, как и симметричное сечение
другого "крыла". .
Зафиксируем промежуток времени t(x) между двумя последовательными
прохождениями траектории через сечение Пуанкаре [6.13]. Располагая
отображением последования F (х) и функцией t(x), вычисляем плотность
вероятности Р(х) с помощью метода итераций, который мы использовали при
рассмотрении логистического отображения (разд. 6.3.1). Зная Р(х), мы
вычисляем производство информации по формуле
Эту величину можно сравнить с соответствующим значением </) для
логистического отображения при а = 4, которое вычисляется следующим
образом. Производя преобразование х' = = (2/,n)arcsin л/х над
логистическим отображением F(x) = 4хХ X (1 - х), мы получаем симметричную
"крышу домика":
Ясно, что для этого отображения Р'(х')- 1. Из сохранения вероятности
P'(x')dx' = P(x)dx мы получаем
Этого результата следовало ожидать заранее, так как при г = 4
логистическое отображение порождает двукратное покрытие интервала [0, 1]
оси Y (отображение "два в одно"). При значениях управляющих параметров г
= 28, 6 = 8/3, сг=10
(/) = ^ Р (х) log d^X'>~ dx ~ 0,98 бит за итерацию. (6.3.41)
о
при 0 < х' < y , при у < х' < 1.
dx я л/х (1 - х)
и, следовательно,
о
log2 [4(1 -2л:)] л/х (1 - х)
dx= 1 за итерацию. (6.3.42)
362
Глава 6
порождаемое аттрактором Лоренца отображение Пуанкаре почти симметрично и
степень покрытия равна почти 2 - почти, но не совсем.
Чтобы описать характеристики производства информации, вычислим
(#) - j Ш 'Ч |[вит/с], (6.3.43)
О
или, если функция Р (х) неизвестна,
) = lim 7Г Z loga 1dFt {x)/dx 1 , (6.3.44)
оо
I = 1
где tn - длина интервала времени, занимаемого п-м переходом. Скорость
производства информации для аттрактора Лоренца, как показано в работе
[6.13], составляет ~ 1,19 бит/с.
Предположим, наконец, что начальная точка в интервале [О, 1], из которой
мы начинаем итерации отображения в любом практическом приложении,
известна не точно, а с некоторой заданной неопределенностью, выражаемой
распределением Р0(х) на интервале. Априорная неопределенность в положении
начальной точки просто равна асимптотической функции плотности
вероятности Р(х) при заданном значении управляющего параметра, поэтому
"информационная ценность" начального условия задается величиной
1
S = J Р0 (х) log2 (^-) dx (бит).' (6.3.45)
о
Следовательно, "память" системы, измеряемая интервалом времени, в течение
которого аттрактор полностью "забывает" начальные условия (перестает
зависеть от них), определяется как величина
$PoWiog,(^-)d* ---------------------- с. (6.3.46)
(dl/dt) 1
f Р М г ( \ dF \\ J
)^w]0g2(\^\)dx
о
По истечении времени Т динамическая эволюция системы перестает
перерабатывать "скрытую" информацию, хранившуюся в начальных условиях, в
явную, и порождает новую информацию, производимую самим потоком (см.
также разд. 6.5).
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
363
Обратимся теперь к исследованию параметров, позволяющих рассматривать
странный аттрактор как некое "устройство" по переработке информации.
Ясно, что мы ожидаем увидеть следующую картину: при значениях управляющих
параметров ниже порога, после которого начинается хаос (а до которого
существуют только стационарные состояния и периодические траектории),
траектории в пространстве состояний только притягивают, и соответствующие
итерации отображения Пуанкаре на отрезке монотонно сходятся, порождая
плотности вероятности, представляющие собой набор 6-образных функций. При
