Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
прямая, проведенная под
Рис. 6.15. Начало процесса тангенциальной бифуркации (см. текст).
углом 45° к горизонтали, пересекает кривую Я3) (X) только в одной точке
(и, разумеется, в начале координат). По мере того, как "горб" на графике
функции F (X) становится более крутым, "холмы" и "долины" на графике
функции F(3)(X) вырисовываются все более отчетливо, пока, наконец, две
первые долины слева и последний холм справа не касаются одновременно
диагонали и затем не пересекают ее в шести новых точках, как показано на
рис. 6.15, при а > 3,8284. Эти шесть точек делятся на два различных
трехточечных цикла.
Действительно, определяющий устойчивость угловой коэффициент касательных
к F^3) (X) в трех точках, образующих цикл, имеет одинаковое значение,
равное ,Х'(3) = +1 при "рождении" точек, а затем касательные пересекают
диагональ под более крутым углом, поэтому такой 3-цикл всегда неустойчив.
Угловой коэффициент касательных к F(3)(X) в трех остальных точках имеет
начальное значение Х(3) = -1, а затем возрастает до нуля, порождая
устойчивый цикл периода 3. При дальнейшем "укручении" F(X) угловой
коэффициент Х(3) касательных в точках первоначально устойчивого
трехточечного цикла убывает и
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
343
становится меньше -1, после чего цикл становится неустойчивым, и
порождает с помощью уже известного каскада бифуркаций удвоения периода
устойчивые циклы периода 6, 12, 24, ..., или, в общем случае, 3 X 2".
Рождение пары устойчивого и неустойчивого циклов периода 3 и последующих
гармоник, возникающих, когда первоначально устойчивый цикл становится
неустойчивым, также имеет свою "точку накопления" при а = = 3,8495. Между
а ^ 3,57 и а = 3,8284 ни один цикл не устойчив так же, как при а >
3,8495.
Мы видим, что существуют бифуркации двух различных типов.
1) Истинно новые циклы периода К возникают парами (один устойчивый цикл и
один неустойчивый), когда холмы и долины старших итераций отображения
F(X), поднимаясь (холмы) и опускаясь (долины), не пересекаются с
диагональю, образующей угол 45° с горизонталью. Такие циклы рождаются в
тот момент, когда холмы и долины касаются диагонали, и начальный угловой
коэффициент касательных к кривой М3> (X) в этих точках равен Aw = +1.
Этот тип бифуркаций называется касательной бифуркацией.
2) При укручении F(X) первоначально устойчивый цикл с периодом К может
стать неустойчивым. Потеря устойчивости происходит, когда наклон
касательных к FiK)(X) в точках, образующих период К, становится круче,
чем А,(К) = -1, после чего рождается новый первоначально устойчивый цикл
с периодом 2 К. Этот тип бифуркации называется бифуркацией двузубой вилки
(камертона).
Итак, мы заключаем, что при изменении управляющего параметра в F (X)
фундаментальными устойчивыми динамическими режимами являются циклы с
основным периодом К, возникающие при касательных бифуркациях, и связанные
с ними каскады гармоник с периодом К\2п, возникающих при бифуркациях
двузубой вилки. Весь диапазон изменения управляющего параметра 1 < а < 4
можно рассматривать как состоящий из бесконечно многих "окон" в
пространстве параметра, то широких, то узких, каждое из которых
соответствует единственному значению К, т. е. одной группе перечисленных
выше основных динамических режимов.
"Окна" отделены друг от друга точками накопления гармоник периода /СХ2",
в которых система действительно хаотична и не содержит притягивающих
циклов. Хотя таких значений параметра бесконечно много, на интервале [1,
4] они имеют меру нуль. При а =4 весь интервал отображается на себя.
Наиболее важный из полученных до сих пор результат анализа логистического
уравнения состоит в утверждении о том, что даже в простейшей одномерной
нелинейной дискретной системе
344
Глава 6
(например, системе, физически или численно моделирующей эволюцию
некоторой популяции с неперекрывающимися поколениями) предсказание
практически невозможно. Следовательно, начав с некоторой заданной
популяции в текущем поколении, мы при достаточно больших значениях
управляющего параметра приходим к выводу о том, что из-за необычайной
чувствительности динамического поведения к малейшим флуктуациям в
начальных условиях или в управляющем параметре а поведение популяции даже
в следующем поколении может оказаться существенно стохастическим, т. е.
система может совершать апериодические колебания, сходящиеся к любому
отличному от нуля устойчивому значению. Иначе говоря, две соседние точки
и Х2 на интервале [0,1], выбранные в качестве начальных условий, могут
даже через небольшое число итераций порождать совершенно различные
траектории; со временем эти траектории экспоненциально расходятся.
6.3.2. Фрактальная размерность. Канторовское множество
Коэффициент "сжатия" (или подобия) р, Фейгенбаума придает распределению
точек/состояний на интервале [0,1] характер самоподобия б. Прежде чем мы
приступим к изучению других характерных параметров, необходимо
