Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Ex = F-^= AoctAp5Fccp = yFt0 + PvFu = у(Ех — рВ„) и т. д.
Подход 3 + 1, напротив, гораздо более трудоемок. Стандартная процедура основана на выражениях для силы Лоренца и скорости изменения энергии (3.2а, б),записанных в несколько модифицированном виде
”*#-*(*¦ 4+° #+*.-1—**•?¦)• <з-25>
... (три дополнительных уравнения) ....
Она заключается в следующем (подробности опускаются по причине их громоздкости!):
1. Подставим вместо d2x/dx2 и т. д. их значения, выраженные через d?xldx2, . . . (преобразование Лоренца).
2. Подставим вместо d2xldx2, . . . выражения для этих ускорений через лабораторные значения Ей В (выражение для силы Лоренца).
3. В этих выражениях все компоненты 4-скорости dx/dx
§ 3.4. Уравнения Максвелла Ц9
I
в лабораторной системе выразим через компоненты 4-скорости в системе ракеты (обратное преобразование Лоренца).
4. В преобразованных таким образом уравнениях (3.25) по-
требуем выполнения равенства правых и левых частей для всех значений dxldx и т. д. (справедливость для любой пробной частицы). _ _
5. Получим отсюда значения E и В, выраженные через E и В [выражения (3.23)].
Разница в трудоемкости очевидна!
§ 3.4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Отвлечемся пока от воздействия поля на заряд и перейдем к рассмотрению действия заряда на поле, или, в более общем виде, к рассмотрению динамики электромагнитного поля как в случае, когда есть заряды, так и в случае, когда их нет. Начнем с простейшего из уравнений Максвелла в определенной лоренцевой системе — с уравнения, из которого следует, что отсутствуют свободные магнитные полюса:
V-Bsdiv B = -??-+^-+ -f -- 0. (3.26)
Это уравнение должно выполняться во всех лоренцевых системах, а значит, и в системе, связанной с ракетой:
дВх , Дг_(3 27)
дх ду Sz
В случае бесконечно малого преобразования Лоренца в направлении х (нерелятивистская скорость р) имеем [см. дополнение 2.4 и уравнения (3.23)]
Bx-Bx, By = Ву-\-$Ег, Вг = Вг—$Еу\ (3.28)
д д і ft д д д д д oq\
fx - эх +P at ’ д~у~~эу’ '
Подставим эти выражения в условие равенства нулю дивергенции
в системе ракеты. При этом мы снова получим условие нулевой дивергенции в лабораторной системе плюс следующую дополнительную информацию (из требования равенства нулю коэффициента перед сколь угодно .малой скоростью Р):
= (3-30>
Если скорость, которая входит в преобразование, паправить вдоль осей у и z, то можно получить аналогичные уравнения для dByldt и dBJdt. С помощью трехмерных векторов эти три урав-
Магнитодннамнка как следствие магнитостатики
I
120 Электромагнитное поле
Магиитодниамика в магнитостатика і сведенные в единый геометрический закон
Электродинамика и електростатика, сведенные в единый геометрический закон
нения сводятся к одному
+ V X E = +rot 17==0. (3.31)
Как это красиво — 1) принцип ковариантности (законы физики одинаковы во всех лоренцевых системах отсчета, что эквивалентно геометрическому подходу в физике) вместе с тем фактом, что
2) магнитные силовые трубки нигде не оканчиваются, приводит к 3) динамическому закону Максвелла для скорости изменения магнитного поля! Это наталкивает на мысль, что уравнение магнитостатики V-B = O и уравнение магнитодинамики dB/dt + + V X-E = O можно свести в один геометрический закон, не зависящий от системы отсчета. Записанный через компоненты тензора поля F, этот закон должен иметь вид
Fafi, в H- 0 = 0» (3.32)
так как при a = I, P = 2, 7 = 3 он сводится к V -В = 0, а если каждый из индексов по очереди положить равным нулю, то он сведется к dBldt + V X E = 0 (см. ниже упражнение 3.7). На геометрическом языке, не зависящем от системы отсчета, этот закон записывается в виде (см. § 3.5, упр. 3.14, и обозначения в гл. 4)
dF = 0, или, что эквивалентно, V -*F = 0; (3.33)
это можно сформулировать следующим образом: «Возьмем 2-форму электромагнитного поля F (геометрический объект, определенный и тогда, когда координаты отсутствуют); построим по ней новый геометрический объект dF («внешняя производная F»); dF должно быть равно нулю». Подробности этой процедуры, не использующей координат, см. в упр. 3.15 и в § 4.5 (курс 2).
Остаются еще два уравнения Максвелла: уравнение электростатики
V -E = 4лр (3.34)
и уравнение электродинамики
dE/dt—VxB= -AnJ. (3.35)
Подобно уравнениям магнитостатики и магнитодинамики, они представляют собой две различные части одного геометрического закона. Записанный через компоненты поля, этот закон имеет вид
Fafitfi = AnJa, (3.36)
где компонентами вектора «4-тока» J являются J0 = P плотность заряда,
/ и п m (3-37)
(J1t J , Ji) компоненты вектора плотности тока.
Записанный на геометрическом языке, свободном от координат, этот закон электродинамики имеет вид
d*F = 4n*J, или, что эквивалентно, V-F = 4jiJ. (3.38) (Подробно см. в упр. 3.15 и в § 4.5, относящемся к курсу 2.)
§ 3.5. Операции над тензорами 121
I
3.7. Уравнения Максвелла
Покажите, расписав в явном виде через компоненты, что геометрические законы
