Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
б. Преобразуйте это выражение к виду
Т»- " = TT [ — FIiaFav1 V —YFap (FaPi ц + F^a, э+ Ffill, „)] ; (3.62)
заметьте, что первый член в (3.62) получается непосредственно из второго члена в (3.61).
в. Используя уравнение Максвелла, получите
Jliviv= -FvaJa. (3.63)
Дополнение 3.3. ТЕХНИКА «ЖОНГЛИРОВАНИЯ ИНДЕКСАМИ»
Уравнение Названяе в поясненне
Safiy — S (®>в, вр, Ьу) Вычисление компонент
SaVy= S(e»a, шр, 6у) Вычисление других компонент
S = SafiyBa ® юр 0 wv Восстановление S по его компонентной форме ранга
9-01457
I
130 3. Электромагнитное поле
Уравнение
Название и пояснение
S = SaPv8a 0 вр0
S“PV = T1pilSauv Sallv = T)ugSaPv
M11 = s %
raf5Hv = ^ap11AZv A2 = AaAa
IlaP1Ipv = ^av
5apv =JVa3iv Я3 = JV°p, a
JVa3t v = (T)pjiJVa,1)>v = T)puJVa,li v
JVa3, V ^ JVa3jtlTfV
(i?aA/p)tV = i?a> v JIZ3+.RaAZpl v| I
Ga3 = ^fa3] - Y — ffap = F<ap> = 2" (^otf + fya) *^aPv = -^EjiaPv
*^ap = ~2 ^'^uvap
ч={л
Xtiva
Восстановление S no его компонентной форме ранга (J). (Напомним, что обычно между различными формами не делается различия; см. уравнение (3.15) и ого обсуждение в тексте)
Поднятие индекса Опускание индекса
Свертка S, в результате которой образуется новый тензор M
Тензорное проивведение S и М, результатом которого является новый тензор Т.
Квадрат длины вектора А, получающийся в результате образования тензорного произведения А0А с последующей сверткой и совпадающий с тем же квадратом длины, представляющим собой результат пересечения 1-формы А, соответствующей A: A2 = (A, A) = AaAa Матрица || т]а31|, образованная из «ковариантных компонент» метрики, обратна матрице ||т)ар||, образованной из «контравариантных компонент». Или,, что то же самое, поднятие индекса у метрики т|а3 приводит к символу Кронекера
Градиент тензора N, являющийся новым тензором S
Дивергенция тензора N, являющаяся новым тензором R
Вычисление градиента и поднятие или опускание индексов— коммутирующие операции
Контравариантный индекс градиента получается поднятием ковариянтного индекса
Градиент тензорного произведения: V (R 0 М) =
= транспозиция = (VR 0 М) + R 0 VM
Антисимметризация тензора F, результатом которой является новый тензор 8
Симметризация тензора F, результатом которой является новый тензор H
Образование тензора третьего ранга, дуального вектору (упражнение 3.14)
Образование антисимметричного тензора второго ранга, дуального данному антисимметричному тензору второго ранга (упражнение 3.14)
Образование 1-формы, дуальной антисимметричному тензору третьего ранга (упражнение 3.14)
4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
2
Эта глава целиком относится к курсу 2.
Она необходима в качестве подготовительного материала для § 14.5 и 14.6 (вычисление кривизны с помощью дифференциальных форм) и для гл. 15 (тождества Бианки и граница границы), но не нужна для понимания остальной части книги.
§ 4.1. ВНЕШНЕЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Семейства поверхностей, как расположенные отдельно, так и пересекающиеся, в результате чего образуются «соты», «коробки для яиц» и другие структуры подобного рода («дифференциальные формы»), позволяют с единой точки зрения подойти к геометрии электромагнетизма и гравитации. Однако, чтобы освоить такой подход, требуется некоторое время. Поэтому при первом чтении книги большинство читателей может опустить эту главу и последующий материал, который на ней основан.
На аналитическом языке дифференциальные формы представляют собой совершенно антисимметричные тензоры; на языке рисунков — это пересекающиеся семейства поверхностей. Математический формализм, позволяющий с легкостью оперировать дифференциальными формами и называемый «внешним исчислением», кратко изложен в дополнении 4.1; его основные особенности иллюстрируются в остальной части главы, где на языке этого формализма излагается электромагнитная теория. По-видимому, наиболее эффективный способ изучения данной главы состоит в следующем:
1) просмотреть дополнение 4.1, чтобы уловить суть формализма;
2) внимательно прочесть остальную часть главы; 3) вернуться и подробно изучить дополнение 4.1; 4) проработать упражнения для приобретения практических навыков в этом формализме^1).
1J Более подробно, чем в этой книге, внешнее исчисление изложено в работах [97—101], и особенно в работах [102] (относительно доступно, с многочисленными приложениями), [103] (для неспециалистов и студентов младших курсов, но на современном математическом уройне), [104, 105].
Q*
2
132 4. Электромагнетизм и дифференциальные формы
Дополнение 4.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ВНЕШНЕЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В КРАТКОМ ИЗЛОЖЕНИИ
Здесь приведены для справок основные определения и формулы внешнего исчисления. Каждый пункт состоит из общего положения и основных приложений. Излагаемый формализм применим не только в пространстве-времени, но и в геометрических системах более общего вида (см. заголовки к разделам). Здесь не делается попыток ни продемонстрировать внутреннюю непротиворечивость формализма, ни вывести его из какой-либо совокупности определений и аксиом. Систематическое изложение предмета можно найти, например, в работах [67, 70].
