Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Faby + Fb.* + Fya., = 0, Fa^t fi = AnJa
действительно сводятся к уравнениям Максвелла (3.26), (3.31), (3.34), (3.35), как утверждалось выше.
§ 3.5. ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ
Необходимо сделать еще одно математическое отступление. По произвольному заданному полю тензора S, ранг которого тоже произволен (для конкретности положим его равным 3), можно с помощью различных операций построить поля новых тензоров.
Одной из таких операций является градиент V. (Символ d используется для обозначения градиента скаляров, тогда V/ = е d/, и «внешних производных дифференциальных форм»— понятие, определяемое в курсе 2, см. § 4.5.) Подобно S, VS является машиной. У нее четыре входных канала (если у S три). Она описывает изменение S от точки к точке. Точнее, если нужно узнать, как при смещении % изменяется число S (u, V, W), когда и, V, W фиксированы, то достаточно ввести u, V, W, % в четыре входных канала VS:
VS (и, V, W, |) = d{S(u, v, w) при фиксированных u, v,[w« ftf -J- [значение S (u, V, W) на острие |] —
— [значение S (u, V, w) на основании ?]. (3.39)
Записанное через компоненты в лоренцевой системе это соотношение принимает вид
dS
VS (u, V, W1 |) = дь (SapyuavVwv) = (—?*) uavPwV =
— Safiv, SUaV^W1^6.
Таким образом, компоненты VS в лоренцевой системе представляют собой не что иное, как частные производные компонент S. Отметим, что градиент повышает ранг тензора на единицу (с 3 до 4 в случае S).
Другой операцией, в результате которой из старого тензора образуется новый, является свертка. Она сводится к блокировке («свертке») двух входных каналов старого тензора, при которой его ранг понижается на две единицы. Точнее, если R — тензор четвертого ранга, a M является сверткой R по первому и третьему
УПРАЖНЕНИЕ
Способы обравоваиия новых тензоров BS старых:
Градиент
Свертка
I
Дивергенция
Транепозицяя
Симметризация а антноюшетри-аация
122 3. Электромагнитное поле
входным каналам, то на выходе M получается (по определению!) число
з
М(ч, у)= S R(ea. и, ю“, V). (3.40)
а=0
Здесь еа и юа — базисные векторы и 1-формы некоторой произвольной лоренцевой системы координат. He имеет никакого значения, какая выбрана система; результат всегда будет одним и тем же (упражнение 3.8 ниже). Записанное в компонентах в произвольной лоренцевой системе, выражение (3.40) принимает вид (упражнение 3.8)
M (u, v) = MvlvU11Vv = RanavUt1V4i
так что
.Mllv = -RaiijV* (3-41)
Таким образом, на языке компонент свертка равносильна размещению одного индекса вверху, а другого внизу с последующим суммированием по ним.
Дивергенция — третья операция образования новых тензоров из старых. Она выполняется следующим образом: сначала вычисляется градиент, затем входной канал градиента свертывается с одним из начальных входных каналов:
(дивергенция S по первому каналу) sV'S
это такая машина, что
V-S (u, V) = VS(®“, и, V, ea) = -SaPv. а«руу» (3.42)
т. е. компонентами V*S являются S*pv> а
Транспозиция — четвертая, довольно простая процедура для получения новых тензоров. Она сводится просто к перестановке двух каналов:
N получается транспозицией второго и третьего каналов S =Ф-
=>N(11, V, w) = S(u, w, v). (3.43)
Симметризация и антисимметризация представляют собой пятую и шестую операции, в результате которых образуются новые тензоры. Тензор совершенно симметричен, если его значение на выходе не зависит от перестановки двух векторов или 1-форм па входе:
S(u, V, w) = S(v, и, w) = S(и, w, V)= ... . (3.44а)
Тензор совершенно антисимметричен, если он меняет знак при каждой перестановке входных данных:
S(u, V, w)= — S(v, и, w)= -fS(v, w, и)= ... . (3.446)
Любой тензор можно симметризовать или антисимметризовать, построив соответствующую линейную комбинацию из него самого и его транспозиций (см. упражнение 3.12).
§ 3.5. Операции над тензорами 123
Косое произведение — седьмая операция образования новых тензоров из старых. Оно представляет собой всего лишь антисим-метрнзовапное тензорное произведение: если даны два вектора и и у, то их косое произведение — «бивектор» и Д V — определяется выражением
иДу^и ® у—V ® и; (3.45а)
подобным же образом из двух 1-форм образуется «2-форма»
® P — P <8> а. (3.456)
Из трех векторов и, У, W можно построить «тривектор»:
иДуЛш = (иЛ?)Дш = иЛ(?Дш) =
= U ® V ® w -f (члены, обеспечивающие совершенную
антисимметрию) =
= и] <g>.V <g> w-j-V ® и +W ® и О v —
— V <S> и О w — u<g>w<g>v — w <g> у <g> и. (3.45в)
Из 1-форм а, Р, у подобным же образом можно построить
«3-форму» аДРДу- Косое произведение позволяет очень просто проверять компланарность (линейную зависимость) векторов: если ииу коллинеарны, т. е. u = av, то
иДу=*ауДу = 0 (вследствие антисимметричности Д).
Если w компланарен и и у, т. е. w = au-f-bv («сплющенная
коробка»), то
шДиДу = аиДиДу-ЬЬуДиДу = 0.
Символ Д называется «знаком внешнего произведения». Его свойства исследуются в гл. 4.
Образование дуального тензора — восьмая операция построения новых тензоров. Она имеет фундаментальное значение в курсе 2 этой книги, но так как она не нужна в курсе 1, то ее определение и свойства рассматриваются лишь в упражнениях (3.14 и 3.15).