Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
А. Алгебра I (применима в любом векторном пространстве)
1. Базисные 1-формы
а. Координатный базис
(j — номер 1-формы, а не компоненты).
б. Общий базис
Приложение. Простые базисные 1-формы, используемые при анализе шварц-шильдовской геометрии вокруг статического, сферически симметричного центра притяжения:
to0 = (1 — 2т/г)1,г d<,
©‘ = (1—2nt/r)'l/*dr, vs1 = г d@, ю3 = г sin 0 Іф.
2. Общий вид р-формы, (или р-вектора) представляет собой совершенно антисимметричный тензор ранга [или (g) J- ^ro можно разложить по косым произведениям (см. § 3.5 и упражнение 4.12):
а =JTaitit-• -1Pwil AА• • • A ®ір = “ииг.¦ .іріV1A®ia А ••• Aejip*
(Если индексы взяты в вертикальные черточки, то суммирование распространяется лишь на комбинации I1 ¦< i2 ¦< .. • ¦< ip.)
Два приложения: 1-форма энергии-импульса есть 1-форма вида а = а4в>*, или
р = — E di + рх dz -f- Pv iy-+-pz d z.
F есть 2-форма вида P = р| і Д <*>v, или в плоском пространстве-времени F= — ExAt Д ix—Evit Д iy —EtAt Д dz-f-+ Вх6у Д dz + Bydz Д йх + Bzйх Д dу.
§ 4.1. Внешнее исчисление 133
2
Косое произведение
Справедливы все хорошо известные правила сложения и умножения, например
(аа + ЬР) Д Y = oa Д Y + &P Л Y.
(«Л Р) Л y=« Л (Р А ?)“« Л PAy.
за исключением модифицированного правила коммутации р-формы а и 9-формы Р,которое имеет вид
«ЛР=(-*)ИРЛ«.
р я Tq р
Приложение к 1-формам a, Р:
аДР= —РДа, аДа = 0; а Д P = (а,®7’) Д (ph©h) = Д ю* = -і (аД — Pjafc) «0і Д wV
Свертка р-формы, с р-вектором
<а, A) = O1J1.. .1р| 4,л* • -ip:l <©*‘ Д ... Д ©1р, е* Д ... Д eip> =
P р 4 1 -------------------------
[= gjj- • (см. упраяшения 3.13 и 4.12)]
Л\. . ,ip
— ®1 -Ip I" •
Четыре приложения:
а. Свертка 1-формы энергии-импульса частицы р = ра<л^ с 4-скоростью u = uaea наблюдателя (1-вектор):
— (p. U)= —раиа = энергия частицы.
б. Свертка 2-формы F с бивектором б Si Д ASi [где 65і = (CliliIdXl) AX1 и ASi — (d&/dX2) AX2 — два бесконечно малых вектора на 2-поверх-ности P(XU Xi), а бивектор характеризует элемент поверхности, на них опирающийся] равна магнитному потоку Ф = (F, ЬР Д ASi) через этот элемент поверхности.
в. В более общем случае р-мерный параллелепипед, ребрами которого являются векторы S1, а2, . • ., Bp, обладает ориентированным объемом, описываемым «простым» р-вектором S1 Д а, Д ... Д ар (ориентированным потому, что перестановка двух ребер меняет знак объема). Структура типа «коробки для яиц», стенками которой являются гиперплоскости р различных 1-форм о1, ог, . . ., ар, описывается «простой» р-формой Of1 Д о8 Д ... Д ор. Количество ячеек о1 Д оа Д . . . Д ov, отсекаемых бесконечно малым p-объемом I1 Д а, Д ... Д ар, равно
Л 02 Л • • • Л < «і Л ¦* Л • • • Л «Р>-
г. Якобиан системы р функций (х\ ..., Xp) равен
д& д Ъ& А д ЫР\
2
134 4. Электромагнетизм и дифференциальные формы.
5. Простые формы
а. Простой р-формой называется р-форма, которую можно записать в виде косого произведения р 1-форм:
0=алрл ••• Ay-
р '-------.------'
р множителей
б. Простая р-форма ot A P A • • • A Y может быть представлена семействами пересекающихся плоскостей а, Р, . . ., Y (структура типа «коробки для яиц») в совокупности с направлением обхода (ориентация).
Приложения:
а. В четырехмерном пространстве (например в пространстве-времени) все 0-формы, 1-формы, 3-формы и 4-формы являются простыми. 2-форма F в общем случае является суммой двух простых форм, как, например, F = —ейt A + Ady Adz; она проста тогда и только тогда, когда FAF = O-Г. Совокупность 1-форм а, Р, . . у линейно зависима (одна есть линейная комбинация остальных) тогда и только тогда, когда a A P A • • • ... Ay = O (сплющенная «коробка для яиц»).
Б. Внешняя производная (применима в любом «дифференцируемом многообразии» как с метрикой, так и без нее)
1. d образует (р + 1)-форму do из р-формы о.
2. Действие d определяется по индукции, используя (гл. 2) определение if, где / — функция (0-форма), плюс
d(« AP) = d«AP + (-1)paAdP,
P я
d2=dd = 0.
Два приложения:
d (a A dP) = da A dp.
Для р-формы Ф, где
Ф=Фиі...іРі<**‘ A ••• Adxi'*, имеем (другое, эквивалентное определение d<D)
do=d^(ii...ip| A d*“ A - --AdXiP.
В. Интегрирование (применимо в любом «дифференцируемом многообразии» как с метрикой, так и без нее)
1. Интерпретация в рисунках
В тексте и на рисунках гл. 4 ? а (интеграл от некоторой заданной 1-формы а вдоль заданной кривой от заданной начальной точки до заданной конечной точки) интерпретируется как «число a-поверхностей, пересекаемых на этом пути»; аналогичным образом | Ф (интеграл от заданной 2-фор-
§ 4.1. Внешнее исчисление 135
2
мы Ф по заданному участку поверхности, на которой задано направление обхода, или «ориентация») интерпретируется как «число ячеек сотоподобной структуры Ф, пересекаемых этим участком поверхности»; подобным же образом дается определение для структур типа «коробки для яиц», представляющих 3-формы, и т. д.
2. Правила вычисления интегралов Вычисление I а — интеграла от р-формы
