Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку геометрические обозначения, не зависящие от системы координат, до некоторой степени неоднозначны (по каким каналам происходит свертка? по какому каналу вычисляется дивергенция? по каким каналам происходит транспозиция?), то при формулировке не зависящих от координат геометрических соотношений между геометрическими объектами часто используются компонентные обозначения, Например,
Jfiy- Sa Pyi a
означает: «J — тензор, представляющий собой дивергенцию по первому каналу тензора S». Также
= (Viv)-^(FlivO. P
Koooe
произведение
Бивектор
г-форма
Тривектор
Дуальный
тензор
I
124 5- Электромагнитное поле
Жонглирование
индексами
УПРАЖНЕНИЯ
означает: «V представляет собой вектор, полученный в результате
1) образования тензорного произведения F ® F тензора F на себя самого, 2) свертывания F (? F по первому и третьему, а также по второму и четвертому каналам, 3) вычисления градиента полученной в результате скалярной функции, 4) превращения этого градиента, который является 1-формой, в соответствующий вектор».
«Жонглирование индексами»— техника оперирования в компонентных обозначениях и расположения индексов в соответствии с правилами, которая позволяет выяснить содержание геометрических соотношений и которой необходимо овладеть, если читатель намеревается в дальнейшем производить сложные вычисления в теории относительности как специальной, так и общей. В дополнении 3.3 приведены некоторые элементы «жонглирования индексами», а упражнения 3.8—3.18 могут служить практикой при овладении этой техникой.
3.8. Свертка не зависит от системы координат
Покажите, что свертка, определяемая выражением (3.40), не зависит от того, в какой лоренцевой системе мы берем еа и «о®. Покажите также, что из уравнения (3.40) следует
M (и, у) = Ac4lotVullyv-
3.9. Дифференцирование
а. Рассмотрев конкретный случай ц = 0, v = 1, убедитесь, что верна следующая формула:
d (UuIf1)Idx = (dujdx) + Uu (dvv/dx).
б. Объясните, почему
(TafiVfi).^=Tafi,^ + TafiVfitll.
3.10. Снова дифференцирование
а. Расписав В ЯВНОМ виде сумму UllUli = TJtIvUtlUv, убедитесь, что верна следующая формула:
d (UV-Uv)Idx = 2uu (du^/dx).
б. Пусть б означает вариацию, или малое изменение. Убедитесь в справедливости следующего выражения:
б (FafiFafi) = 2FafibFafi.
в. Вычислите (FafiFafi), ц.
§ 3.5. Операции над тензорами 125
I
3.11. Симметрии
Пусть Auv — антисимметричный тензор, т. е. Aiiv = — Avil; пусть также SIiv — симметричный тензор, т. е. = Sv^.
а. Убедитесь в справедливости равенства A IlvSliv = 0 двумя способами: сначала распишите сумму в явном виде (все шестнадцать слагаемых) и покажите, что все члены в ней попарно уничтожаются; затем обоснуйте каждый знак равенства в следующей цепочке:
AlivSilv-----AvtxS^ = - ^vuSvl* = - AafiSafi--------^uvSttv = 0.
б. Установите два следующих тождества для произвольного тензора Fuv:
VlivAiiv = ± (Vliv - 7V“) Ativt VlivSliv = ± (V “v + Vv*) Suv.
3.12. Симметризация и антисимметризация
Чтобы «симметризовать» тензор, его нужно усреднить по всем транспозициям. Индексы у компонент нового, симмотризованного тензора заключаются в круглые скобки:
^(MV) = "2" (^IiV + ^vu) >
І (3.46)
F(HVX) = -gj- (^liv*. +^vXn + Fbllv-I-Vvu*, -H Vp,Xv + ^*.V|i)•
-«Антисимметризация» тензора производится аналогичным образом (индексы в квадратных скобках):
Vm = ~ (^v Vvll),
і г (3-47)
V[uv*,] — 0| (VIivX -(- Vvxp, + V*,uv VvU*, V|i*,v—\ *.vu) •
а. Покажите, что симметризованные и антисимметризованные
таким образом тензоры действительно симметричны и антисимметричны по отношению к перестановке векторов, вводимых
в их каналы:
F(CtPv)IiaUpItfv= + Vlaflv)l/4tPw'? = . .
F[a3V]it“yPji>v = _ F[apv]y“uPu;v = ... .
б. Покажите, что тензор второго ранга можно восстановить по его симметричной и антисимметричной частям:
^hv = V (,IV) -f- F[цу] і (3.48)
тогда как для тензора третьего ранга этого сделать нельзя; F(apv>
и FfaPv] в совокупности содержат «меньше информации», чем Fapv. Другие, более сложные симметрии, которые содержат недостающую информацию, описываются «диаграммами Юнга» (см., например, [60]).
УПРАЖНЕНИЯ
I
УПРАЖНЕНИЯ
126 3. Электромагнитное поле
в. Покажите, что тензор электромагнитного поля удовлетворяет соотношениям
F <ар) = 0, F0Lfi = F[вр]. (3.49а)
г. Покажите, что «магнитное» уравнение Максвелла
Fa.fi, V + Ffiyt а Fyu, р — О можно переписать в виде
v] = 0. (3.496)
3.13. Тензор Леви-Чивиты
«Тензор Леви-Чивиты» е в пространстве-времени представляет собой совершенно антисимметричный тензор четвертого ранга:
8 (п, и, у, w) изменяет знак при перестановке любых
двух векторов. (3.50а)
Рассмотрим определенную, произвольным образом выбранную лоренцеву систему, вектор во которой направлен в будущее, а Єї, О2, в3 — правая тройка пространственных базисных векторов. Ковариантные компоненты 8 в этой системе задаются выражением
е0123 = 8(в0> ®1* ®2» Bj)= +1. (3.506)
