Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
dT/dx = dj = (df, u). (2.36)
В локально лоренцевой системе внутри Солнца это выражение можно записать в виде
_ „а дТ _ 1 дТ I у! дТ (9, %7\
d* дха Y 1-«2 dt іЛ-»2 дхі ' ' }
В чем смысл этого результата?
УПРАЖНЕНИЯ
I
104 2- Остви специальной теории относительности
Преобразования
Лоренца:
а) координат
б) базисных векторов
в) базисных 1-форм
г) компонент
§ 2.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
Чтобы упростить вычисления, часто оперируют с компонентами векторов и 1-форм, а не на языке, свободном от координат. В такого рода выкладках иногда возникает необходимость в преобразованиях от одной лоренцевой системы отсчета к другой. Читатель уже знаком с такими преобразованиями Лоренца, но краткая сводка в дополнении 2.4 поможет ему освежить их в памяти и познакомит его с обозначениями, используемыми в этой книге.
Ключевыми объектами в преобразовании Лоренца являются матрицы ||A“'p Il и Il Apa-1| ; первая из них преобразует координаты нештрихованной системы в координаты штрихованной, а вторая — наоборот:
= A0VP, х* = Apa-^a'. (2.38)
Поскольку они совершают одно и то же преобразование, но в раз-
ных направлениях, они должны быть обратны одна другой:
Л“'рЛр?- = 8“'?., Apk'A“'v = 8pv. (2.39)
Исходя из того, что 4-скорость и = (dxa/di)ea по своей природе
не зависит от координат, легко получаем выражения
Ba- = врЛра», Єр = ea'A“ р (2.40)
для базисных векторов одной системы через базисные векторы другой; из других геометрических соотношений, таких, как
V = OaVa = вр-і>Р', (о, v> = cr„i;“ = Op<i;P', O = OaCOa = Op-COP',
получаем следующие законы преобразования:
ю“'= А“рсоР, соР = Ара-са“'; (2.41)
Vа' = A“’pi>P, уР = Лра-уа'; (2.42)
Oa- = OpApa-, Op = Oa-Aa р. (2.43)
В этих законах преобразования не нужно запоминать расположение индексов. Необходимо лишь расположить их так, чтобы 1) свободные индексы по обе стороны знака равенства занимали одинаковые позиции, а 2) индексы, по которым производится суммирование, встречались один раз вверху и один раз внизу. Тогда все будет правильно! (Примечание: индексы у A всегда расположены «с северо-запада на юго-восток».)
§ 2.9. Преобразования Лоренца 105
I
2.7. Буст в произвольном направлении
Матричные компоненты наиболее употребительного из преобразований Лоренца имеют вид
УПРАЖНЕНИЕ
A0 = V = T
A0^ = Ay0=-PV,
(2.44)
|/1—P2 ’
Aj'ft = Aft', = (V-I) пЫк + 6*,
A1V = (компоненты Avll, у которых P заменено на —Р), где Р, и1, п2, и3 —параметры, причем п2 = (и1)2 + (и2)2 + (и3)2 = 1. Покажите, что а) эти матрицы удовлетворяют условию ATriA = Tj, накладываемому на преобразование Лоренца (см. дополнение 2.4);
б) для наблюдателя из нештрихованной системы штрихованная система движется с обычной скоростью Pn; в) для наблюдателя из штрихованной системы нештрихованная движется с обычной скоростью -Pn (т. е. Vі' -¦ — Ри1, у2' = — Pn2, у3' = — р«3); г) при движении в направлении оси z матрицы преобразования приобретают знакомый вид
Av^ll =
У 0 0 -Pv V 0 0 Pv
0 1 0 0 , IIAMl = 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
-Pv 0 0 V Pv 0 0 V
(2.45)
Дополвевие 2.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
Поворот системы отсчета на угол 6 в плоскости х — у 1J
Наклон s = tg 0, sin 0 = t = t,
X=X cos 0— у sin 0, у —¦ X sin 0 4- у С OS 0,
Z = Z. I
(1+*2)1/2 ’ г
COS 0 =
(1 -м2)1/2
S -
t = t,
X = X COS 0 + у sin 0, у = — х sin 0 -|- у cos 0,
Z = Z.
Все знаки вытекают из знака этого члена. Он положителен, как легко установить из положения точки Hi.
1J В литературе иногда различают понятия системы координат и системы отсчета [см., например, Зельманов A. JI., ДАН СССР, 107, 815 (1956)]. Под системой отсчета понимают совокупность всех, координат, неподвижных друг относительно друга. С этой точки зрения «поворот декартовой системы координат в плоскости х — у» не есть переход к другой системе отсчета или реальный поворот системы отсчета со временем в пространстве. Действительно, система остается неизменной с течением времени, на ней «рисуются» две системы координат: х, у, z и х, у, z. В данной книге авторы не делают различия между понятиями системы отсчета и системы координат.— Прим. ред.
I
106 ?• Основи специальной теории относительности
Два последовательных поворота
*=т=йг ’ или о=0‘+02*
Запуск движущейся системы отсчета («буст») 1) с параметром скорости а в плоскости а — t
P
Скорость P = th a, sh а =
(I-PE)V2 »
Clia =
(I-P2)V2
tg 0 = CEtopocTb p = tha. t = t ch a + z sh а, х = х,
У =J/)
z = t sha + zcha.
—
Г
\
t = t ch а — z sh а,
X=X
У = У,
Z —
Z= —f sha-j-zcha.
T *. *
Все знаки вытекают из знака этого члена. Он положителен, так как объект, покоящийся при Z = Ob системе, связанной с ракетой, в лабораторной системе движется в направлении увеличения z.
Матричные обозначения: хР = Aii-Xv, Xv = AvwXtl,
AMl =
4-вектор энергии-импульса E — E ch а -\-рг sh а,
Px = Pi,
Pv = P^
рг = E sha + p^cha.
Аберрация света, фотон приходит к наблюдателю: — Pl (1 — p2)1/2sin§‘*