Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
бой абсолютно интегрируемую функцию t на промежутке [±1, ±00).
Таким образом, обобщенные волновые операторы существуют в случае кулоновских потенциалов. Все рассуждения с незначительными изменениями можно повторить и в случае дальнодействующих потенциалов, когда наряду с кулоиовским потенциалом имеются короткодействующие слагаемые. В результате мояшо прийти к выводу, что обобщенные волновые операторы существуют и в этом случае.
§ 5. Свойства волновых операторов
Опишем общие соотношения, которым удовлетворяют волновые операторы. Их формулировка не зависит от того, имеем мы дело с быстро убывающими или кулонов-сжими потенциалами. Техника доказательства также одинакова в этих двух случаях. Мы приведем доказательство на примере быстро убывающих потенциалов. Чтобы не загромождать формулы, мы будем опускать значки (±) в обозначениях волновых операторов и проводить рассуждения только для случая (—). Если это будет оговариваться специально, во всех полученных ниже конечных формулах можно брать любой -из операторов (±).
Свойство А. Справедливы соотношения
HUA = UAEA, (1.30)
которые называют сплетающим свойством. Для доказательства воспользуемся равенствами
eitn\JA = HAem\
вытекающими из формул
lim AnH<TiTH^LA lira е*'пе-*'яаьАет\
Дифференцируя данные равенства по ?, получим соотношения
eimJi\JA = UAEA*iri4
которые при ? = 0 переходят в (1.30).
Свойство В. Операторы UА частично изометричны,
UAUA = U, (1.31)
§ 5. свойства волновых операторов
37
а их области значения ортогональны,
UIUb-0, Аф.В. (1".32)
Чтобы доказать это свойство, достаточно проверить соотношения
(UA/A, иБ/Б) = бАВ(/А, /б),
где через б ab обозначен символ Кронекера: 8АВ = 1 при А = В и блв = 0 при А Ф В.
Запишем билинейную форму Iab = (Ua/a, Ub/b) в виде предела
/АВ = Нт(е-ш^'ЬА/л, в-ш^Ьв/в) (1-33)
f-> оо
и рассмотрим последовательно три случая.
Пусть А = В. Тогда искомое равенство /аа = (/а, /а) является непосредственным следствием унитарности one-, ратора e~lJlAt.
Если А Ф В и при этом отвечающие им разбиения различны, at Ф ЬЛ то скалярное произведение под знаком предела можно записать в виде быстро осциллирующего интеграла:
1АВ = в (кв) X
Хехр {— tt(EA(pA)— Ев(рв))}.
Предел таких интегралов при равец нулю. Если
же аг = bj, то быстро осциллирующие экспоненты пропадают, так как в этом случае ЕА(рА) = Ев{рв). При этом обе функции tyA(kA) и ^в(кв) являются собственными для оператора НА, и поэтому интеграл 1АВ равен нулю в силу их ортогональности. Итак, свойство Б доказано.
Условие ортогональности областей значений волновых операторов допускает простую физическую интерпретацию. Именно, заметим, что векторы LAXJ A(t)fA и LbUbW/b, которые скалярно перемножаются под знаком предела (1.33), описывают асимптотические состояния в каналах А и В. Поэтому равенство этого предела нулю можно трактовать как условие ортогональности асимптотических волновых пакетов, которое выполняется тем точнее, чем больше t. Интересно, что это свойство имеет место несмотря на то, что каналы фА и фв неор-тогональпы.
38
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
Наконец, перейдем к формулировке последнего свойства волновых операторов.* Мы определим объединение областей значений этих операторов и тем самым дадим ответ на вопрос, поставленный на втором этапе обоснования постановки задачи рассеяния.
Заметим сначала, что операторы = и^^л^* являются операторами проектирования на ортогональные подпространства. Действительно, согласно равенствам (1.31) и (1.32), справедливы соотношения
па = Яа, Па^в = О, В.
Следовательно, сумма этих операторов
р(с±) = 2 и^и'Р
а
также является оператором проектирования. Следующая задача состоит в описании областей значений операторов Р(с±}.
Обозначим через Рс проектор на подпространство $с, отвечающее непрерывному спектру оператора энергии Н. Примем следующую важную гипотезу об областях значений операторов Рс^.
Свойство В. Области значений операторов совпадают с подпространством $с:
Р<+> = Р<Г> = рс. (1.34)
Отметим, что свойство В гарантирует выполнение условий асимптотической полноты (1.5). Принято говорить, что в таком случае волновые операторы обладают свойством асимптотической полноты.
Доказательство этого свойства занимает центральное место в обосновании задачи рассеяния. Однако, хотя на решение этой проблемы направлены основные усилия специалистов, она до сих пор не решена в общем случае. Существующие подходы, которые мы опишем в следующей главе, позволили рассмотреть только системы двух и трех частиц,- Несмотря на это, все конструкции, используемые х теории рассеяния, предполагают выполнение асимптотической полноты как необходимое условие корректности физической картины рассеяния.
Свойства волновых операторов иногда формулируют в терминах собственных функций непрерывного спектра оператора энергии. С этой целью волновые операторы
§ 5. свойства волновых операторов 39
рассматривают как преобразования каналов $А в конфигурационное пространство. Их ядра в этом представлении, называемом смешанным, являются функциями координатных X и импульсных рА переменных. При этом импульсную переменную естественно считать параметром. Эти функции называют волновыми функциями.
