Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве операторов А и В в (2.8) можно также выбрать произвольную пару Н-z и Ha/i — z. Получим тогда новую серию тождеств:
R (z) - Rak (Z) - Rah(z) V«ftR (*), (2.10)
R (z)~ Ra& (z) - R (z) VakRah {z), (2.10')
ГДе Rak(z) e=(Haft— я)""1. Оператор ВОЗМуЩеНИЯ Vah В ЭТОМ
случае описывает взаимодействие между подсистемами,
4 С. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
50 ГЛ. П. сведение К стационарной задаче рассеяния
входящими в разбиение аА,
vaft = v-vaft.
Как и выше, соотношения (2.10), рассматриваемые в качестве уравнений, однозначно определяют резольвенту при z вые спектра Н. Отметим, что уравнения (2.9) представляют собой частный случай соотношений (2.10) при k = N.
Наконец, в качестве пары А и В можно выбрать операторы На/ — z и Hah — z для разбиений аг и ahl связанных отношением включения ак аи В результате получим семейство уравнений
Raft(*) = Ra,(*)-Re| WVllKaJz),
-а (2Л1)
Rafe (Z) - Ro, (Z) - Rflft (Z) V^Ra, (*),
где символ di может принимать значение разбиений, сле-
лта I
дующих за ah, at с: ah. Возмущение Vafe содержит лишь те потенциалы из разбиения aA, которые не входят в Va/j
V*z = V - V
Операторы RaA (2). Опишем свойства операторов Rafe(z), которые играют роль ядер и свободных членов в этих уравнениях.
Заметим прежде всего, что в силу равенства (1.16) резольвента Rafe (z) явно выражается через резольвенты
внутреннего и внешнего гамильтонианов для разбиения rjf» (z) = (h<5*> - s)"1 и r'f > (*) - (h<f > - z)-1 посред-ством интеграла
R4(Z) = 2^§^<nt)(o<Xt)(Z~ Р' <2Л2>
V
где интегрирование ведется по контуру, охватывающему
і (int)
спектр оператора hak в отрицательном направлении. В свою очередь, резольвента (z) связана с резоль-
вентами составляющих разбиение ak подсистем (o;.(? = 1, 2, ...,&) Rw (z) = (Н(о — z)~l с помощью (к — 1)-крат-
§ 2. ОСОБЕННОСТИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ (НЕЙТРАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ) 51
пого интеграла
... (j) dCfe-iR©z (Ci) ЬЦ (?a — Ci) RcuZft (Sft-i — Еж-2)»
где интегрирование относительно С* (j = l, 2, ..., Z—1) также ведется по контурам, охватывающим спектр операторов Нсо^ в отрицательном направлении.
В импульсном представлении резольвента roefext) (z)
сводится к оператору умножения на функцию [pak—
так что интеграл (2.12) можно вычислить по вычетам. Получим следующее выражение для ядра резольвенты:
Rai (Р, Р\ z) = r?nt) {кар кар z - pty o (pai - paiy
(2.13)
Здесь через r^nt) (&, kr, z) обозначено ядро резольвенты внутреннего гамильтониана raz .
Согласно нашей гипотезе о строении дискретного спектра операторов энергии подсистем, ядра Rai(P, Р'', z) имеют полюсные особенности. Действительно, в собственном подпространстве резольвента r^nt) действует как оператор умножения на {z + х^)""1. Отсюда следует, что операторы РлВа/ задаются сингулярными ядрами
PARa, (Р, P',z)= 1А (к'л) б (РА - р'А). (2.14)
Здесь явно выделена искомая полюсная особенность
(Ра — Ка- z)~x.
Заметим, что оператор R0(z), равный в импульсном представлении оператору умножения на, (P2 — z)-1, также можно представить в виде интегрального оператора с сингулярным ядром
Л0(Л Р\ z) = {P2-z)~ib{P-P'). (2.15)
Таким образом, ядра операторов Rak (Р, Р', z) имеют два типа особенностей — полюсные и o-образные. Так как. эти ядра входят в уравнения теории возмущений 4* *
52 ГЛ. II. СВЕДЕНЦЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ
где слагаемые под знаком суммы имеют а*г_1-связные ядра. На втором шаге применим тождество (2.10) для операторов ЬЦу^О5) и Riz) и затем представим оператор
возмущения V0^"*1 в виде суммы:
aN-2PaN-l
Получим представление
R (Z) = R0 (z) - S RoVa^Ra^ + aN-l
+ 2 2 RoVa^Ra^.i Va^2R (z)«
aiY-l aiV-2:DaiY-l
(2.10) как в качестве свободных членов, так и в качестве ядер интегральных операторов, естественно предположить, что аналогичные особенности будет иметь также и ядро резольвенты.
Несвязные части. Опишем особенности ядра Л(Р, Р', z) типа б-функций. Введем сначала несколько определений. Ядро К{Р, Р'), имеющее б-образные особенности, будем называть несвязным. Несвязное ядро, в котором б-функ-ции не зависят от внутренних координат кАх для разбиения а/, будем называть агсвязным ядром. При этом ^-связное ядро является гладким. Мы будем называть такие ядра связными.
В случае системы двух тел ядро резольвенты может быть разбито на сумму связной и несвязной частей с помощью тождества (2.9). В этом тождестве ядро первого слагаемого несвязно, а ядро второго слагаемого
(До^Хр.р',*)-
= (р2-2Г1|7(р-р") г) йр" (2.16)
является гладкой функцией при 1т % Ф 0.
Чтобы произвести аналогичное разбиение в системах нескольких частиц, будем последовательно применять тождества (2.9) и. (2.10) и переходить от а^-связной части к аА_!-связной части (к = N — 1, N — 2, ..., 2). На первом шаге получаем представление
И (2) = И,, (г) - 2 До (*) (г),
§ 2. особенности резольвенты (нейтральные частицы) 53
имеет единственную б-образную особенность б
а ядро оператора V является гладким по соответствующей переменной. Поэтому ядро произведения этих операторов является гладкой функцией при 1т % Ф 0. По этой же причине гладкими будут и ядра операторов
